Archivio mensile:Ottobre 2016

congettura di goldbach

La congettura di Goldbach: cos’è e perchè è importante

congettura di goldbach

Introduzione

La congettura di Goldbach, uno dei più importanti e vecchi problemi irrisolti della teoria dei numeri. In breve, essa afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi. Essi possono anche essere uguali.

Vediamo qualche esempio che conferma la regola:

4 = 2+2

6 = 3+3

8 = 5+3

10=5+5

50=37+13

Potrei andare avanti ancora molto, ma purtroppo questi esempi confermano la regola. Non la dimostrano. E’ questo il problema. Per dimostrare una congettura simile, sarebbe necessario sicuramente appoggiarsi ad un concetto di induzione. Ossia dimostrare che tale enunciato, se è vero per i primi n pari, è vero anche per l’n+1-esimo pari.

Potrebbero esserti utili questi due articoli per comprendere ciò che ho scritto:

Introduzione al concetto di dimostrazione

Il principio di induzione: cos’è e a cosa serve

Un po’ di storia

Nel 1742, Goldbach (matematico prussiano), scrisse una lettera ad Eulero. In essa gli propose la seguente congettura:

Ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.

Eulero, interessato al problema, rispose riformulando il problema in una versione equivalente:

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

Quando attualmente si parla di congettura di Goldbach si fa riferimento alla riformulazione di Eulero. Essa viene talvolta chiamata anche con il nome di congettura forte di Goldbach. Essa implica direttamente quella definita “debole”. Quest’ultima afferma che

Tutti i numeri dispari maggiori di 7 possono essere scritti come somma di tre primi.

Il problema? Beh, la maggior parte dei matematici crede nella validità di tali affermazioni. Tuttavia non è ancora stato dimostrato che tutti questi enunciati valgano per ogni n. Ci ha provato qualcuno? Si, in molti. Ora ti riassumerò i tentativi più rilevanti.

1923, Hardy e Littlewood hanno dimostrato che se l’ipotesi di Riemann generalizzata è vera, allora la congettura debole di Goldbach è vera per tutti gli interi dispari sufficientemente grandi.

Nel 1937, Ivan Vinogradov rimosse l’assunzione dell’ipotesi di Riemann generalizzata, mostrando che ogni numero dispari per due costanti menzionato sopra oltre al quale la congettura debole di Goldbach è dimostrata. Tra questi, vi è la dimostrazione di Deshouillers, Effinger, te Riele e Zinoviev che l’ipotesi di Riemann generalizzata implica la congettura debole di Goldbach.Nel 2013 Harald Helfgott ha annunciato di aver dimostrato tale risultato senza l’assunzione dell’ipotesi di Riemann, risolvendo totalmente quindi la congettura debole di Goldbach.

Puoi trovare degli interessanti approfondimenti seguendo i seguenti link:

http://maddmaths.simai.eu/divulgazione/la-congettura-di-goldbach/

http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_conjecture

Perchè dimostrare la congettura di Goldbach potrebbe essere importante?

Come ho sempre detto, da quando ho iniziato questo progetto, io non sono qui per insegnare niente a nessuno. Io sto semplicemente condividendo con voi appassionati di matematica i miei approfondimenti e le mie ricerche.

Abbastanza casualmente, ho incontrato questa congettura (di cui avevo solamente sentito il nome) leggendo il libro “Il teorema del pappagallo”. Ho deciso quindi di informarmi meglio su questa congettura, capire come siamo messi a livello di risultati raggiunti e che conseguenze potrebbe avere una dimostrazione corretta di tale enunciato.

Facendo qualche ricerca su dei forum inglesi (eh si, bisogna imparare a leggere in inglese se si vuole approfondire la matematica come tutte le scienze, ti si apre un mondo) del settore. Ho deciso di riportarti qui di seguito il riassunto di un post tradotto. Mette in evidenza, in poche righe, il perchè questa congettura possa essere importante per la teoria dei numeri.

Lo trovo molto interessante.

La congettura ha più di 250 anni. E’ ancora irrisolta, ma non è ancora stata dimostrata la sua impossibilità. E’ però possibile sbilanciarsi sull’importanza che la validità di tale congettura comporterebbe.

L’enunciato in sè, non è così importante. Se venisse trovata una dimostrazione, l’enunciato non sarebbe minimamente importante tanto quanto è interessante il metodo utilizzato per dimostrarlo. Nella teoria dei numeri, alla quale questa congettura appartiene, non è raro incontrare enunciati di semplicità simile. Ma è spesso incredibilmente difficile risolverli.

Per esempio, è ragionevole pensare che la congettura di Goldbach sia corretta. Questo perchè controllando numeri pari sempre più grandi, il numero delle possibili somme di interi con cui possiamo scrivere tale numero aumentano notevolmente. Diventa quindi sempre più plausibile che in quel gran numero di possibilità, ce ne sia una in cui entrambi gli addendi siano primi. Questo non è però niente di più che un procedimento euristico che supporta la validità della congettura.

Ma dimostrarne l’assoluta verità è tutt’altro problema. Dimostrarecorrettamente tale congettura, comportaunacomprensionepiena e profondadellerelazionitra i numeri e unaammirevoledimestichezza con numerosetecnichedimostrativesofisticate.

Problemi così semplici, nella teoria dei numeri, sono tanto complicati da dimostrare, quanto rilevanti per la teoria dei numeri stessa. Questa e molte altre congetture, infatti, non apportano alcun fantastico risultato, ma contribuiscono notevolmente a sviluppare nuovi teoremi, congetture e teorie in maniera lineare e solida con lo scopo di dimostrare una semplice congettura.

La congettura non è quindi tanto importante in sè, ma lo sarebbero certamente le tecniche utilizzate per risolvere il problema stesso.

Problemi come questo, sono come travi di legno attorno alle quali la matematica cresce come una vigna.

Le nuove teorie introdotte, anche se non aiutano a dimostrare la congettura di Goldbach, diventeranno senz’altro utili in futuro per risolvere qualche problema ben più importante. Fino al giorno in cui tale congettura verrà risolta (se mai ce ne sarà uno..) gli sviluppi che la teoria dei numeri avrà avuto saranno enormi.

Probabilmente il miglioesempio di unacongettura simile, è propriol’ultimoteorema di Fermat chenel 1995 è statodimostrato da Andrew Wiles dopo ben 350 anni di tentativicontinui.

Potrebbe interessarti questo articolo:

L’ultimo teorema di Fermat

Quindi, per concludere, non è tanto importante la meta (in questo caso), quanto il viaggio, le idee necessarie per raggiungere la meta.

Con questo, l’articolo si conclude. Ti sarei molto grato se condividessi l’articolo perchè mi sono impegnato parecchio per scriverlo e sono convinto che i contenuti potrebbero risultare interessanti a molti appassionati di matematica.

Prima di salutarti però mi fa piacere suggerire un sito che raccoglie strumenti e idee per far sì che si sviluppi una comunità di appassionati con lo scopo di dimostrare la congettura: www.dimostriamogoldbach.it. Se ti interessa l’argomento di sicuro qui troverai pane per i tuoi denti 😉

Il teorema del pappagallo – Commento e spunti interessanti

Eccoci ad una nuova recensione / commento di un libro sulla matematica. Questa volta è il turno di “Il teorema del pappagallo“. E’ l’ennesimo libro che sono riuscito a leggere sul tema, uno tra i 50 che ho elencato nell’articolo sui migliori libri sulla matematica. Lo trovi qui: I 50 migliori libri sulla matematica. Partiamo, come al solito, con un breve commento e carrellata degli argomenti coinvolti nel libro. Come molti altri libri sulla matematica, il pretesto per parlare dei vari teoremi, dimostrazioni e congetture, è una storia intrigante persino per un bambino. In questo caso si parla di una vecchia amicizia che riaffiora quasi per caso, i ricordi portano a numerose nuove scoperte. Il protagonista, il signor Ruche, vecchio libraio, riceve delle lettere da un vecchio compagno di università. Ruche aveva la passione per la filosofia, il signor Grosrouvre amava la matematica invece. Beh, in queste lettere lui disse all’amico di essere riuscito a dimostrare due importanti congetture. Non l’aveva detto a nessuno, se non ad un amico fedele, in grado di ricordarle bene. (Ovviamente non ti dirò chi è questo amico, ti rovinerei la lettura che ti consiglio vivamente. Puoi prendere il libro in prestito in biblioteca, come ho fatto io, oppure puoi acquistarlo anche online da qui: Il teorema del pappagallo). Beh, l’amico, oltre ad inviargli alcune lettere, gli inviò anche una collezione con i migliori libri di matematica della storia. Edizioni preziosissime, manuali e lettere che ogni matematico avrebbe voluto possedere. Il come fosse riuscito ad impossessarsi di tutto questo ben di Dio…è tutto da scoprire 😉 Detto ciò, con il pretesto di scoprire ciò che Grosrouvre era (forse) stato in grado di dimostrare, Ruche e gli altri che vivevano con lui, iniziarono a studiare dai libri della biblioteca che l’amico gli aveva permesso di allestire e alla biblioteca nazionale. E’ qui la bellezza del libro, non tanto nella storia in sè, quanto nel leggero ma accurato excursus storico che viene fatto sui momenti più importanti della storia. I principali matematici hanno almeno 5-6 pagine interamente dedicate. Potrai leggere di Archimede, di Pitagora, di Euclide, Eulero, Fermat, Pascal e moltissimi altri. Le curiosità non mancano certamente. Il tutto accompagnato da una narrazione molto avvincente, misteriosa ed interessante. Beh, se non l’hai ancora capito, il libro mi è piaciuto parecchio. Forse un po’ lento nella narrazione, ma senz’altro tale ritmo è stato dettato dalla densità storica degli avvenimenti e delle scoperte di ambito matematico.

A chi consiglio la lettura?

Lo so che è scontato dire <<a tutti>>, ma “purtroppo” mi vedo nelle condizioni di doverlo fare. Non è un libro troppo approfondito, quindi probabilmente non fa per te solamente se sei alla ricerca di teorie avanzate. Non c’è nulla di esauriente, nulla di innovativo rispetto a ciò che già puoi trovare su qualsiasi libro di storia della matematica. E’ però perfetto come lettura serale se ti appassiona la matematica oppure se vuoi scoprire se la matematica fa proprio schifo o se qualcosa di interessante lo nasconde. Sono sicuro che se sei tra questi di ricrederai. 🙂 Non è cortissimo come libro (siamo sulle 500 pagine) ma molto leggero, interessante e prende come storia. Più che un punto di arrivo, come fonte per trovare risposte, vedo questo libro come un enorme porta verso la matematica, quella che conta veramente. Ci sono moltissimi spunti per approfondimenti interessanti, numerose congetture di cui non conosci nemmeno l’esistenza, numerosi matematici/che di cui ti appassionerai. Insomma, è un romanzo tutto da scoprire. Se vuoi leggerlo, ti consiglio di prenderlo in prestito in biblioteca (come ho fatto io), o comprarlo su amazon da questo link: Il teorema del pappagallo. Se ti interessa acquistarlo, ci tengo a farti sapere che Amazon ha appena lanciato Prime Student, l’abbonamento Prime per gli studenti: tutti i benefici di Amazon Prime, ma a metà prezzo – solo EUR 18,00 all’anno. Non è abbastanza? Hai un periodo d’uso gratuito di 90 giorni. Ti consiglio di sfruttarlo soprattutto se hai intenzione di leggere di più 😎 http://bit.ly/sconto_studenti La prossima lettura che andrò a fare, sempre nel settore, è “Apologia di un matematico”. Appena sarò in grado di darne un giudizio, lo farò sempre con un articolo qui sul sito. Se pensi qualche tuo amico possa interessarsi alla matematica con questo libro, non farti problemi a condividere l’articolo per farglielo conoscere 😉 Alla prossima!

Funzione di partizione: cos’è e a cosa serve?

Quante sono le possibili somme che puoi scrivere per calcolare il numero 3?

Beh, basta provare. Non sono molte dopotutto!

3=3

3=2+1

3=1+1+1

Si dai, hai ragione. Sono bastate 3 righe.

Quante sono le somme distinte possibili per trovare il numero 5? Si dai, saranno un po’ di più, ma non troppe da rendere il calcolo difficile.

5=5

5=4+1

5=3+2

5=3+1+1

5=2+2+1

5=2+1+1+1

5=1+1+1+1+1

Ancora ragionevole come operazione. Devi però sapere che anche solo per trovare il numero 22, esistono 1002 possibili somme distinte. Bisogna ammettere che mettersi giù a trovarle tutte e 1000 sarebbe abbastanza laborioso e soprattutto noioso.

Non sarebbe interessante scoprire se esistesse una funzione p(n) che, inserito in input il numero di cui vogliamo trovare il numero delle possibili somme, ci restituisca proprio ciò che cerchiamo?

Una funzione che restituisca quindi i seguenti risultati?

p(0)=0

p(1)=1

p(2)=2

p(3)=3

p(4)=5

p(5)=7

e così via… Se sei curioso ho trovato un sito in cui sono elencati i risultati relativi ai primi 10.000 numeri naturali. Puoi scoprirlo inserendo la tua email qui sotto:

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Beh, torniamo a noi…Esiste una funzione in grado di restituire questi risultati? Si, esiste. Si chiama funzione di partizione. Un giovane scienziato americano è venuto a capo di questo problema, banale solo in apparenza, che tiene in scacco i matematici da secoli.

Ken Ono, un ricercatore della Emory University di Atlanta, in Georgia, è venuto a capo di uno degli enigmi matematici più resistenti della storia: la funzione di partizione. A prima vista sembra un problema banale: la partizione di un numero intero n è una sequenza di numeri interi la cui somma dà come risultato n. Non sembra nulla di troppo complicato.

A prima vista non vi è alcuna regolarità nell’andamento dei risultati associati ai progressivi numeri naturali. Te ne rendi conto soprattutto se hai dato un’occhiata all’andamento relativo ai primi 10.000 numeri naturali qui sopra. Eppure i matematici degli scorsi secoli non si sono dati per vinti ed in molti si sono cimentati in questa impresa, non riuscendoci però.

Ci aveva provato nel XVIII secolo Eulero, che era riuscito a mettere a punto un metodo di calcolo ricorsivo lento, complesso e inapplicabile a numeri grandi.

Nel XX secolo i matematici Ramanujan e Hardy svilupparono una formula che funziona abbastanza bene per numeri inferiori a 200, ma, contenendo la costante π, offre risultati approssimativi e con un numero infinito di decimali.

Hardy e Ramanujan giunsero alla loro formula introducendo il cosiddetto metodo del cerchio. Questo metodo ebbe un grande successo in molti problemi asintotici di teoria additiva dei numeri perchè consente di trasformare un problema additivo in un problema che può essere risolto attraverso gli strumenti dell’analisi complessa. Viene spesso chiamato anche metodo di Hardy, Ramanujan e Littlewood in quanto essi lo utilizzarono per trattare diversi problemi additivi come il problema di Waring e la congettura di Goldbach.

Ramanujan, poco prima di morire, lasciò un misterioso appunto nel quale indicava una non meglio specificata schematicità secondo le potenze di 5, 7, 11 nella sequenza dei numeri di partizione.

Nel 1937 il tedesco Hans Rademacher riuscì a sviluppare un’equazione che permette di calcolare l’esatto valore di partizione: peccato che per funzionare richieda di sommare infiniti numeri che hanno un numero infinito di decimali. “Sono numeri macabri” commenta Ono.

Rademacher, mentre preparava delle note sul lavoro di Hardy e Ramanujan, fece un piccolo cambiamento nell’analisi che lo portò alla scoperta di una serie convergente e quindi di una formula esatta per p(n). Il teorema di Rademacher rappresenta il coronamento del metodo del cerchio e il cammino d’integrazione utilizzato nella sua dimostrazione è legato ai cerchi di Ford e alle frazioni di Farey. La dimostrazione di Rademacher, inoltre, costituisce anche una meravigliosa applicazione della funzione eta di Dedekind.

La soluzione trovata da quest’ultimo, risiede nell’analogia che ha questa successione con i frattali. Apparentemente non vi è nessuna regola che governa la progressione dei p(n), ma a livello locale si possono notare degli schemi ricorrenti. Come già Ramanujan intuì, il segreto per trovare tale schema, risiede nelle proprietà di divisibilità dei numeri di partizione.

Se ti interessano le formule più accurate, se vuoi scoprire qual è la formula a cui si è arrivati e quelle che si sono susseguite nel tempo con maggiore precisione, inserisci la tua email qui sotto. Ho trovato un pdf fatto molto bene di cui non ha senso riportare troppi tecnicismi in questo articolo. Quindi se ti interessa approfondire eccolo qui:

[optin_box style=”10″ alignment=”center” disable_name=”Y” email_field=”email” email_default=”Email” integration_type=”mailchimp” thank_you_page=”http://www.mat.uniroma3.it/scuola_orientamento/alumni/laureati/deblasio/Sintesi_De_Blasio.pdf” already_subscribed_url=”http://www.mat.uniroma3.it/scuola_orientamento/alumni/laureati/deblasio/Sintesi_De_Blasio.pdf” list=”ddf6e89e73″ name_field=”FNAME” name_default=”Enter your first name” name_required=”Y” opm_packages=””][optin_box_field name=”headline”]Here’s The Headline For The Box[/optin_box_field][optin_box_field name=”paragraph”][/optin_box_field][optin_box_field name=”privacy”][/optin_box_field][optin_box_field name=”top_color”]undefined[/optin_box_field][optin_box_button type=”0″ button_below=”Y”]Scarica il PDF[/optin_box_button] [/optin_box]

Prima di concludere, ci tengo a soffermarmi su una domanda che spesso si trascura quando si parla di argomenti così complessi e apparentemente astratti.

Ok, molto bella ma…a cosa serve questa funzione di partizione?

Probabilmente nella vita di tutti i giorni, a poco niente. Le partizioni hanno molte implicazioni in diverse aree dell’algebra, della fisica, della statistica, e dell’economia.

Se ti interessa approfondire l’argomento, ho trovato un paio di video davvero interessanti. Eccoli qui:

 

Numeri perfetti? Numeri rari ma molto curiosi

Hai mai sentito parlare di numeri perfetti? Non stupirti se ti è nuova, anche io non sapevo cosa fossero prima di leggere il libro “L’ultimo teorema di Fermat” (trovi la recensione qui se vuoi).

Si parla di numeri perfetti riferendosi a quei rari numeri i cui divisori addizionati, danno esattamente come somma il numero in questione.

Per esempio il 6, ha come divisori 1,2,3 che sommati danno esattamente 6. Esso è quindi uno tra i pochi numeri perfetti. Fin’ora ti ho detto solo che sono rari, non ho però quantificato.

Beh, devi sapere che da 1 a 100.000 ci sono soltanto 4 numeri perfetti. Essi sono 6, 28, 496, 8128.

Curioso no?! Tranquillo, non finisce qui. I numeri perfetti furono infatti studiati dai Pitagorici.

Essi parlarono di numeri eccedenti difettivi nel caso in cui la somma dei divisori di un numero fosse rispettivamente maggiore o minore al numero stesso. Per esempio il 12 è un numero eccedente perchè  i suoi divisori danno come somma 16.

10 è invece un numero difettivo, dato che la somma dei suoi divisori è 8.

Pitagora enunciò un teorema, che poi Euclide dimostrò, il quale afferma che se 2^{n}-1 è un numero primo, allora 2^{n-1}x(2^{n}-1) è un numero perfetto.

Proviamo a verificare tale teorema con qualche esempio:

2^2 – 1 è primo, 6 = 2^1 x (2^2 -1) è perfetto!

2^3 – 1 è primo, 28 = 2^2 x (2^3 -1) è perfetto!

Analogamente per i successivi.

Eulero dimostrò inoltre che tutti i numeri pari perfetti devono presentarsi in questa forma appena annunciata.

Un ulteriore passo in avanti nello studio dei numeri perfetti fu compiuto da Nicomaco di Gerasa, filosofo neopitagorico vissuto verso la fine del I secolo d.C. in Palestina. Il punto di maggior interesse dei suoi studi relativi ai numeri perfetti, è un elenco di proprietà ad essi legate. Le fornì senza però le relative dimostrazioni:

1. L’n-esimo numero perfetto ha n cifre

2. Tutti i numeri perfetti sono pari

3. Tutti i numeri perfetti terminano con 6 e con 8 in modo alternato

4. Il cosiddetto algoritmo di Euclide genera tutti i numeri perfetti, ovvero tutti i numeri perfetti sono della forma 2 k−1 (2k − 1), per qualche k > 1, dove 2 k − 1 è primo

Queste proposizioni sono state prese in esame più volte nel corso del tempo e ancora lo sono. Al momento attuale ciò che possiamo dire con sicurezza è che le proprietà (1) e (3) sono false, mentre le altre non sono ancora state né provate né confutate.

Oggi i computer hanno continuato la ricerca dei numeri perfetti e hanno trovato esempi di numeri colossali come 2^216090 x (2^216091 – 1), un numero con più di centotrentamila cifre che obbedisce alla regola di Euclide.

Anche da un punto di vista religioso i numeri perfetti sono considerati significativi ed importanti. Nella cultura ebraica, per esempio, il Mondo era stato creato in 6 giorni e il calendario ebraico si basava sul mese lunare (28 giorni). Anche alcuni commentatori cristiani si sono concentrati sulla perfezione e rilevanza di tali numeri. Sant’Agostino scrisse: «Sei è un numero perfetto in sé stesso, e non perché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni. Anzi è vero l’opposto: Dio ha creato tutte le cose in sei giorni proprio perché questo è un numero perfetto».

Nel corso degli ultimi secoli si sono scoperte anche altre proprietà interessanti ad essi legati. Se ti interessa approfondire l’argomento, scrivimi una mail dal modulo qui sotto dicendo che vuoi approfondire. Ti manderò il link di qualche contenuto che apprezzerai sicuramente 😉