Archivio mensile:Settembre 2016

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Perchè la matematica è odiata da molti?

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Qualche settimana fa, ho pubblicato un articolo dedicato ai motivi per cui io (e molti altri) amo la matematica. Lo puoi trovare qui: I 10 motivi per cui amo la matematica

Ho ricevuto molte condivisioni, commenti e messaggi dopo la pubblicazione di questo articolo per cui sono molto contento. Un commento però mi è stato veramente di spunto, dopo la sua lettura ho pensato di scrivere anche questo articolo.

Te lo riporto qui sotto:

Intanto, se non mi segui su Facebook ti consiglio di farlo, dato che posto quotidianamente vari articoli, storie, giochi e quant’altro. Puoi trovare la pagina cliccando su questo link: Mathone.

Effettivamente i motivi per cui ho detto di amare la matematica, sono un po’ contraddittori. Sostanzialmente mi sono soffermato molto sulla sua difficoltà, sull’impegno richiesto per comprenderla, sul mistero che ogni teorema e dimostrazione nascondono. Questi sono effettivamente i motivi che me la fanno amare, ma probabilmente sono anche i motivi per cui essa è considerata una ‘bestia rara’ da molti 😉

Ho quindi pensato di dedicare un articolo ai motivi per cui questa disciplina è odiata. Vedi te come interpretarli, se sentirti compreso o se non ti senti coinvolto in quanto non condividi queste motivazioni. Dipende un po’ da che ‘relazione’ hai con questa materia, spero sia un bel rapporto.

Inoltre l’obiettivo che mi sono dato con questo sito è proprio quello di trovare dei modi e dei contenuti che mi permettessero di far avvicinare pian piano a questa disciplina anche chi l’ha sempre vista come qualcosa di inutile, difficile e meccanico. Interessare chi vede la matematica semplicemente come numeri, calcoli, memoria. Insomma a chi vede i matematici come delle calcolatrici 😉

Beh se sei tra queste persone, probabilmente riuscirai ad iniziare a farti una nuova idea di questa disciplina leggendo questo articolo, inoltre potrai poi trovare interessanti gli altri articoli che ho pubblicato fin’ora sul sito. Prova, prima di giudicare!

Bene, ora basta con le chiacchiere. Ti lascio alle mie considerazioni sull’argomento che sono dovute anche a varie letture che ho fatto sull’argomento prima di scrivere questo articolo.

Partiamo da due elementi fondamentali:

  1. Non è la matematica ad essere odiata, è la matematica insegnata a scuola ad essere odiata
  2. Il metodo con cui tale disciplina viene insegnata è alla base dell’odio condiviso per questa materia

Ora, spero di non aver offeso nessuno dicendo ciò, ma è quello che realmente penso e ciò che ho visto essere condiviso anche da molti altri online.

Non sto dicendo che gli insegnanti non sono capaci di insegnare la matematica, sto dicendo che il metodo da loro utilizzato non è spesso adeguato alle persone alle quali devono insegnarla. Questo lo dico senza nascondere la mia profonda stima per gli insegnanti di matematica che hanno accettato una sfida non poco ardua decidendo di intraprendere questa carriera.

La matematica viene passata semplicemente come calcoli, come imparare a memoria formule da applicare meccanicamente. Molte spesso capita di vedere insegnata la matematica ai fini di imparare a memoria le 4-5 tipologie tipiche di esercizi per ogni argomento, così da riuscire a cavarsela nelle verifiche. Il tutto ha come solo scopo il test, la verifica. Rimane tutto a livello teorico, sembra quasi che la matematica sia una cosa fantasiosa, priva di alcuna utilità, che abbia il solo scopo di far dannare gli studenti in quanto difficile da imparare.

Sono perfettamente d’accordo con te se la trovi difficile, è così. Solo che se stimolati opportunamente siamo tutti in grado di superare delle difficoltà. Siamo in grado solo se siamo motivati a farlo.

La matematica che viene insegnata è pura teoria, raramente si trovano insegnanti che si impegnino a legare la vita di tutti i giorni a ciò che insegnano a lezione. Eppure trovo questo l’unico metodo efficace per interessare a questa disciplina chi ritiene la matematica inutile.

Tu, se sei tra questi, hai tutte le ragioni per ritenerla inutile. Nessuno si è veramente impegnato per farti cambiare idea! Nessuno ti ha detto che la matematica è alla base di molte cose che utilizzi ogni giorno. Nessuno ti ha detto che gli algoritmi matematici regolano gran parte degli strumenti che adoperi. Nessuno ti ha detto che anche in natura la matematica ha delle utilità, che ci sono degli animali che utilizzano la matematica per sopravvivere. Nessuno ti ha detto che con la matematica puoi risolvere alcuni problemi pratici più velocemente.

Ovviamente questa non può essere considerata una scusa, magari odi la matematica perchè nessuno te ne ha mostrato l’utilità, ma perchè non fare un passo avanti? Perchè non provare a guardarti qualche film sull’argomento? Perchè non leggere qualche articolo o libro che parlano delle sue applicazioni alla realtà? Magari non ti verrà proprio voglia di studiarla, ma certamente potrai limitare il disprezzo, l’atteggiamento negativo che hai nei confronti di questa ‘bestia rara’.

Potresti provare iniziando a risolvere qualche indovinello logico, ti regalo un PDF con 50 indovinelli con le relative soluzioni se clicchi sul bottone qui sotto:

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Ovviamente gli insegnanti, devono necessariamente concentrarsi sul programma, sugli argomenti fondamentali. Purtroppo non hanno molti larghi per mostrare ciò che la matematica è veramente, ciò che loro sanno essere. Trovo però che si possa trovare una via di mezzo, che si possano fare progetti, laboratori, discussioni sulla matematica. Sempre non allontanandosi del tutto dal programma.

Dopotutto ogni argomento ha delle applicazioni alla pratica. Ti faccio qualche esempio.

I numeri negativi: 

Perchè esistono i numeri negativi? A cosa servono? Probabilmente hai sempre accettato che siano stati introdotti per convenzione, che un giorno uno si è svegliato dicendo ‘e se inventassimo i numeri con il meno davanti?’. Beh come i numeri naturali sono stati inventati per contare le pecore, per contare i giorni e quant’altro…i numeri negativi sono stati utilizzati per misurare i debiti, le mancanze. Hanno una profonda utilità pratica, non sono detti negativi in quanto non sono buoni.

I numeri irrazionali:

Non sono stati introdotti per complicare la vita degli studenti, prova a pensare alla radice di 2. Quale può mai essere la sua utilità pratica? Beh diciamo che si è iniziato a parlare di radice di 2, quando si volle provare a misurare la diagonale di un quadrato di lato 1. Sembrava infatti impossibile che da un quadrato così semplice e perfetto potesse uscire un numero così strano.

I numeri primi:

Molto complessi, quanto utili. Lo sapevi che le cicale sfruttano i numeri primi per sopravvivere?  Lo sapevi che esistono le cicale periodiche? Sono meglio conosciute come Magicicada septendecim, sono gli insetti con il ciclo vitale più lungo. Esso inizia sottoterra, dove le ninfe succhiano pazientemente la linfa dalle radici degli alberi. Poi, dopo 17 anni di attesa, le cicale adulte emergono dal terreno e invadono temporaneamente la campagna.

Perchè il ciclo vitale dura proprio 17 anni? Perchè proprio un numero primo? Ci sono anche le Magicicada tredicim il cui ciclo dura 13 anni, altro numero primo.

Si è scoperto che esse sfruttano dei numeri primi quali cicli di vita per evitare i parassiti. Per pure ragioni evolutive. Infatti essendo un numero primo divisibile solo per uno e per se stesso, qualsiasi sia la lunghezza del ciclo vitale dei parassiti la probabilità di incontrarli è assai rara.

Basta pensare che anche se i parassiti avessero un ciclo vitale di 16 anni, si incontrerebbero una volta ogni 272 (16×17) anni. Ma ovviamente dopo 272 anni smetteranno di sopravvivere tali parassiti, senza possibilità di nutrirsi.

Quante meraviglie nasconde la natura e…la matematica ovviamente 🙂

Beh, questi sono solo alcuni esempi, che magari non ti colpiscono molto ma ti assicuro che sono solo pochi. Nei prossimi articoli, e anche in qualcuno dei precedenti, approfondiremo altre applicazioni pratiche della matematica.

Quindi, tornando al tema di questo articolo, perchè molta (troppa) gente odia la matematica? Semplice, perchè ciò che intende per matematica non è la vera matematica e, inoltre, non è consapevole di utilizzarla costantemente tutti i giorni.

Ma allora, qual è la vera matematica? Eh lascio a te scoprirlo, ti aiuterò scrivendo articoli utili a questo scopo, ma l’unica cosa che voglio dirti adesso è la seguente:

La matematica è tutto ma non numeri, calcoli e memoria. I matematici non sono delle calcolatrici. I numeri, che sono un po’ il fulcro della matematica che hai studiato almeno fino in 2-3 superiore, sono solo uno strumento. Un qualcosa che permette di verificare le teorie, niente di più rispetto al pennello per un pittore. La matematica non ha nulla di meccanico, è un insieme di idee, riflessioni, ipotesi, dimostrazioni. E’ tutta da scoprire! 🙂

Prima di chiudere questo articolo, nel quale ho messo anima e corpo in quanto ci tengo veramente a far passare i giusti messaggi, ti chiedo di condividerlo per far sapere anche ai tuoi amici ciò che si stanno perdendo. Trovi i pulsanti social qui sotto. Ti lascio inoltre un paio di video che potrebbero darti qualche spunto utile 😉 Alla prossima!

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L’ultimo teorema di Fermat – Commento e spunti interessanti

Eccoci ad un altro commento/recensione di un libro di matematica. Questa volta è il turno di “L’ultimo teorema di Fermat” scritto da Simon Singh. Libro davvero affascinante, scorrevole e interessante da leggere. Anche in questo caso ho preferito prenderlo dalla biblioteca ma, se ti interessa possederne una copia nella tua libreria, puoi acquistarlo da qui: Acquista libro

Di cosa parla il libro?

Hai mai sentito parlare dell’ultimo teorema di Fermat? Non preoccuparti se è la prima volta che lo senti nominare. Anche io fino ad un mesetto fa (prima che scrivessi l’articolo sui Migliori libri di matematica) non avevo idea di cosa fosse. L’ultimo teorema di Fermat, che fino ad una ventina d’anni fa meritava solamente il nome di Congettura di Fermat in quanto ancora non dimostrato, non fa altro che affermare ciò che segue:
se  non ammette soluzioni intere non banali (a=b=c=0). Sembra semplice ad una prima lettura, dopotutto se ponessimo n=2 non faremmo altro che trovare l’enunciato del teorema di Pitagora… Eppure la dimostrazione di questo apparentemente innoquo teorema ha impegnato i più grandi matematici degli ultimi 3 secoli. Tale congettura è stata annotata da Pierre de Fermat nel 1637 ai margini di una copia dell’Arithmetica di Diofanto sulla quale era solito formulare molte delle sue famose teorie. Egli scrisse:
“Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina”.
Lanciò quindi una sfida ai matematici del tempo, chiedendo loro se fossero in grado di dimostrare tale ipotesi. Solo Andrew Wiles, matematico britannico del XX secolo (attualmente vive negli Stati Uniti), riuscì a dimostrare tale congettura nel 1995 (dopo 7 anni di isolamento). E’ stato sostanzialmente il problema rimasto irrisolto per più tempo. Tra Fermat e Wiles numerosi matematici si sono dilettati nel tentativo di fornirne una dimostrazione, alcuni facendo qualche passo avanti ma andando tutti incontro al fallimento. Queste sono proprio le vicende narrate nel libro, che percorre quindi abbastanza semplicemente alcuni momenti importanti della storia della matematica degli scorsi 3 secoli. Tra i principali matematici che ci provarono ci sono: Eulero che, nel 18° secolo, dimostrò il caso n=3, Adrien-Marie Legendre che risolse il caso n=5, Sophie Germain che scoprì che esso era probabilmente vero per particolari numeri primi, ossia quei primi tali che 2p+1 è anch’esso un numero primo. Nel ‘900 entrò in gioco anche una nota congettura, detta di Taniyama-Shimura, che portò la dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat ad un nuovo stadio. Tuttavia non mi dilungo nella presentazione dei contenuti, altrimenti ti rovinerei la lettura che invece ti consiglio vivamente.

A chi consigli la lettura?

Questo testo è abbastanza particolare, in quanto tratta di argomenti parecchio complessi ma in maniera abbastanza alla portata di tutti. Io non ho conoscenze molto avanzate in matematica, devo iniziare il secondo anno di università e non ho mai approfondito argomenti complessi come quelli trattati nelle pagine di questo libro, tuttavia la storia è molto affascinante e la si riesce a seguire molto bene. Ovviamente alcune parti le si può capire solamente se si hanno determinate basi, alcune pagine prettamente teoriche (quando si parla di equazioni ellittiche) non le ho lette con troppa attenzione in quanto con le conoscenze attuali non sarei in grado di comprenderle. Tuttavia l’autore si impegna a spiegare tutto ciò che afferma ed in maniera comprensibile ai più. Ti consiglio questo libro quindi qualsiasi sia il tuo livello di preparazione. Inoltre per me è stata una fonte importantissima per nuovi spunti, approfondimenti e letture future. Se ti interessa acquistarlo, ci tengo a farti sapere che Amazon ha appena lanciato Prime Student, l’abbonamento Prime per gli studenti: tutti i benefici di Amazon Prime, ma a metà prezzo – solo EUR 18,00 all’anno. Non è abbastanza? Hai un periodo d’uso gratuito di 90 giorni. Ti consiglio di sfruttarlo soprattutto se hai intenzione di leggere di più http://bit.ly/sconto_studenti Detto ciò, non mi resta che ricordarti il link per l’acquisto: Acquista libro e chiederti cosa ne pensi del libro se per caso l’avessi già letto. Per qualsiasi domanda, critica o suggerimento non esitare a lasciare un commento o a scrivermi una mail all’indirizzo mathonelist@gmail.com

Numeri naturali: dalle pecore al concetto di numero

I numeri naturali sono il primo insieme di numeri che andremo ad analizzare, sono quelli a cui sei probabilmente più legato. Quelli più semplici da approciare (apparentemente). Quei numeri che la maestra ti ha insegnato in prima elementare. La loro utilità, storia e struttura è molto interessante, abbiamo quindi pensato di analizzarli e iniziare una serie di articoli interamente dedicatia ai numeri. Per qualsiasi critica, richiesta o consiglio ti prego di contattarmi direttamente alla mail mathonelist@gmail.com oppure lascia un commento a questo articolo, lo leggerò sicuramente.

Partiamo quindi alla scoperta dei numeri naturali.

Breve storia

In genere quando le persone sentono la parola “matematica”, la prima cosa che gli salta in mente sono i numeri; la matematica in effetti è fondata sui numeri, pertanto in questo articolo cercherò di spiegarvi cosa sono i numeri naturali. Essi sono uno degli strumenti che ogni persona deve essere in grado di manipolare (almeno ai livelli base), perciò anche se non te ne intendi di matematica, ti assicuro che potrà interessarti questo articolo.

I numeri naturali sono i primi numeri con cui l’uomo ha avuto a che fare circa nel 300.000 a.C.; fin dall’antichità si sentiva la necessità di contare, di ordinare e di classificare. La conoscenza e l’uso del numero hanno avuto perciò, fin d’allora, una notevole importanza sociale: saper contare permetteva di misurare il trascorrere del tempo, enumerare le prede ottenute durante la caccia, registrare il numero di abitanti di una tribù, …

Ogni popolazione ha elaborato un proprio sistema di numerazione costituito da parole, simboli e regole per leggere e scrivere i numeri, ma per quanto riguarda il concetto di numero, inteso come quantità o “strumento per contare”, era lo stesso che intendiamo noi tutt’ora.

Tuttavia sono intercorsi più passaggi intermedi prima di capire cosa ci fosse in comune tra “tre pecore”, “tre alberi” e “tre sassi”. Solo quando si è arrivati a parlare di “numero tre” indipendentemente dal precisare “tre di che cosa” allora è iniziato uno sviluppo vero e proprio dell’algebra. Da allora il numero divenne un ‘oggetto’ autonomo, un concetto, e con i numeri si iniziò a operare.

Pure nei giorni nostri i numeri naturali costituiscono il primo “ambiente matematico” costruito e utilizzato dall’umanità. Il sistema di numerazione decimale che utilizziamo noi fu diffuso in Europa dagli Arabi, che lo acquisirono dagli Indiani alla fine dell’VIII secolo d.C.

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Classificazione dell’insieme

Ma ora passiamo alla classificazione dei numeri naturali.

Il loro insieme si indica con la lettera N, maiuscola e in carattere grassetto e si può rappresentare nel seguente modo:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

Se conosci già anche l’insieme dei numeri interi, puoi notare che l’insieme dei numeri naturali corrisponde all’insieme dei numeri interi positivi, che per ora chiamiamo con la lettera A maiuscola:

A = {0, +1, +2, +3, +4, +5,…}.

Ora, per una definizione un po’ più rigorosa in termini matematici, devo adoperare la teoria degli insiemi. Se volessi dare un’occhiata a quest’ultimo argomento, lascio un link qui di seguito:  http://www.ripmat.it/mate/j.html (qui troverai senz’altro ciò che cerchi).

 

In generale i numeri naturali sono le classi di insiemi che hanno la stessa cardinalità finita.

Cosa vorrà mai dire questa affermazione?? Per capirla ci serve spiegare alcuni concetti:

 

  • due insiemi hanno la stessa cardinalità quando possiedono lo stesso numero di elementi;

 

Ad esempio l’insieme B = {3, 7, 1} e l’insieme C = {21, 0, 1} hanno la sessa cardinalità perché possiedono tre elementi ciascuno, e non ci importa che gli elementi siano gli stessi o tutti diversi.

 

  • tra due insiemi che hanno la stessa cardinalità si può stabilire una corrispondenza biunivoca (funzione biiettiva), ovvero ad ogni elemento dell’insieme di partenza possiamo associare uno e un solo elemento dell’insieme di arrivo, in modo da esaurire tutti gli elementi dell’insieme di partenza e tutti gli elementi dell’insieme di arrivo. In questo contesto non ci interessa la logica con cui si associano gli elementi;
  • gli insiemi tra i quali si può stabilire una corrispondenza biunivoca si possono raggruppare in classi, che significa assegnare loro un’etichetta con su scritto il numero di elementi che possiedono.

Una volta capiti questi concetti viene normale pensare che i numeri naturali solo le classi di cui abbiamo appena parlato.

 

Un’altra definizione rigorosa dell’insieme dei numeri naturali è quella di John von Neumann, ma prima occorre conoscere gli Assiomi di Peano.

 

ASSIOMI DI PEANO

L’insieme N è caratterizzato dai seguenti dati:

  1. 0 ∈   (0 appartiene ai numeri naturali)
  2. Ogni n   N ha uno e un solo successore n’ ∈  N
  3. Per ogni n ∈   N,  n’≠0 (lo zero è il primo tra tutti i numeri naturali)
  4. Per ogni n, m ∈   N se m ≠ n ⇒   m’≠ n’ 
  5. Per ogni sottoinsieme S di N se:
  • 0 ∈   S
  • Per ogni n ∈   N, se n ∈   S ⇒   n’ ∈  S

 allora S=N .

L’assioma 4 afferma che due numeri naturali, sono seguiti dallo stesso se e solo se sono uguali. Perciò se due numeri sono diversi il loro consecutivo è diverso.

L’assioma 5 lo puoi trovare approfondito a questo articolo che ho pubblicato recentemente: Il principio di induzione.

Questi sono gli assiomi di Peano; il quinto è anche detto assioma di induzione; è necessario che l’insieme che tra poco costruiremo soddisfi queste condizioni per poter essere l’insieme dei numeri naturali. Per chi desiderasse approfondire l’argomento lascio qui di seguito un link utile: https://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano.

Se magari sei già esperto sull’argomento o se non ne hai mai sentito parlare, questi assiomi ti sembreranno banali. Non lo sono per niente, è grazie ad essi che si possono concretamente costruire i numeri naturali.

DEFINIZIONE INSIEMISTICA DI N

Se supponiamo:

0 = { }, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, …

Cioè:

  • 0 = Ø
  • 1 = 0 U {0} = Ø U {0} = {0}
  • 2 = 1 U {1} = {0} U {1} = {0, 1}
  • n+1 = n U {n} = {0, 1,…, n-1} U {n}

OSSERVAZIONE

Essendo n = {0, 1,…,n-1} la cardinalità di n è n. Inoltre:

  • se m˂nmn
  • se m≤nmC (sottoinsieme proprio) n

Gli assiomi di Peano sono soddisfatti, pertanto l’insieme n coincide con l’insieme N dei numeri naturali.

Operazioni

Per quanto riguarda le operazioni che si possono costruire su un insieme generico va ricordata la seguente cosa:

sia A un insieme qualunque, si definisce * un’operazione di A se per ogni a, b ∈ A si ha che

*: AxA→A quindi (a, b)→c.

Ossia, possiamo definire un’operazione * in un insieme (quale quello dei numeri naturali), se applicando questa operazione a due elementi dell’insieme stesso, ne otteniamo un terzo ancora appartente a tale insieme di partenza.

Nel caso specifico dell’insieme dei numeri naturali si possono creare solo due operazioni, che sono la somma e la moltiplicazione; per quanto riguarda la sottrazione e la divisione non sono operazioni interne. 

Prova infatti a sottrarre 2 e 4 (in quest’ordine), otterrai -2, che non appartiene ai numeri naturali. Esiste quindi un esempio che ci permette di dire che la sottrazione non è operazione ad essi interna. Per quanto riguarda la divisione, basta dividere 1 per 3, otterrai 1/3 che è un numero  razionale (li vedremo più avanti), ossia un elemento non appartenente ad N.

 

Questa prima trattazione sui numeri naturali, che nasconde molti approfondimenti futuri, termina qui. Spero di aver soddisfatto i tuoi dubbi, se hai qualsiasi cosa da dirmi lascia un commento qui sotto o mandami una mail a list@mathone.it

 

Flatlandia – commento e spunti interessanti

Come già annunciato nell’articolo sui 50 migliori libri sulla matematica, ho iniziato a leggere i principali libri sul tema. Mi sono dato l’obiettivo di leggere un libro a settimana, da settembre in poi. Ovviamente non saranno tutti presi da questa lista, ma alternerò libri di matematica a libri legati ad altre passioni che ho, quali la crescita personale e libri sul business. Ho deciso di iniziare con un testo leggero, scorrevole ma allo stesso tempo ricco di spunti di riflessione. Se non l’hai ancora capito, sto parlando di FLATLANDIA . Un libretto di 130 pagine, da leggere con calma in uno, due giorni. Senza impegno ma annotandosi qualche idea, dato che la storia che c’è sotto non è delle più interessanti (almeno da quello che ho potuto leggere io), ma nei dialoghi, nelle descrizioni si possono scoprire grandi mondi, grandi spunti ed idee. Questo libro si ambienta in Flatlandia, un “mondo” completamente Piano. I suoi abitanti sono le figure geometriche piane, quasi tutte regolari. Il rango sociale, il sesso e le caratteristiche dei suoi abitanti variano al variare della regolarità e del numero di lati che l’essere possiede. Dopo interessanti descrizioni relative all’ambiente, alle modalità di riconoscimento che permettono loro di distinguersi, ad alcuni episodi “storici” e quant’altro, termina la prima parte del libro prettamente descrittiva. La seconda parte invece è più movimentata. E’ descritta dal punto di vista di un Quadrato che se la cava molto bene con la matematica. Esso è portato mediante sogni, realtà e immaginazione a rendersi conto che il suo, non è lo spazio. Non è l’unico mondo. Si rende conto che esistono esseri viventi che non conoscono l’esistenza di nessuna dimensione (punto) , altri che pensano ne esista una sola (la lunghezza), poi ci sono gli abitanti di Flatlandia che sono convinti dell’esistenza di sole due dimensioni (lunghezza e spessore). Lui stesso viene a conoscenza del fatto che il Piano non sia lo Spazio,  ma che esista una terza dimensione detta altezza. Il resto è storia… Non proseguo nella descrizione degli argomenti trattati nel libro se no di 130 pagine non ti rimarrebbe molto da scoprire. Invece ti consiglio vivamente di leggerlo, magari in un weekend di relax 🙂 . Io l’ho preso in biblioteca (è un libro famoso per cui lo potrai trovare in qualsiasi biblioteca), se vuoi acquistarlo puoi comunque guardare qui: Flatlandia. Se ti interessa acquistarlo, ci tengo a farti sapere che Amazon ha appena lanciato Prime Student, l’abbonamento Prime per gli studenti: tutti i benefici di Amazon Prime, ma a metà prezzo – solo EUR 18,00 all’anno. Non è abbastanza? Hai un periodo d’uso gratuito di 90 giorni. Ti consiglio di sfruttarlo soprattutto se hai intenzione di leggere di più http://bit.ly/sconto_studenti Ora mi preme soffermarmi sulle idee, concetti su cui mi ha davvero fatto pensare, affascinare questo libro. Alcuni sono prettamente di carattere matematico, altri più filosofico/umano. La quarta dimensione : Se trascino un punto per una distanza finita ottengo un segmento. Se trascino tale segmento in direzione parallela ad esso per una distanza pari alla sua, ottengo un quadrato. Se trascino verso l’alto tale quadrato per un’altezza pari al lato stesso del quadrato, ottengo un cubo. Se trascino “da qualche parte” un cubo cosa ottengo?! Cos’è la quarta dimensione? Come posso immaginarmela concretamente? Di sicuro quindi questo non è un punto d’arrivo, ma un punto di partenza. Queste domande, curiosità che mi sono sorte le devo assolutamente approfondire con libri, articoli o tutto ciò che mi è a disposizione. Per cui se hai qualche testo o riferimento da consigliarmi ti prego di contattarmi o scrivere qui sotto nei commenti. Intanto mi sono limitato a guardare questo video molto interessante : La regolarità delle figure piane : leggendo le descrizioni della prima sezione del libro, mi sono soffermato a riflettere sull’armonia di una figura i cui lati, angoli sono tutti uguali. Ho riflettutto sul numero di lati che può avere per essere assimilato dall’occhio umano ad un cerchio. Mi ha incuriosito molto il metodo con cui gli esseri di Flatlandia riescono a distinguere un quadrato da un pentagono e della difficoltà che essi hanno nel distinguere una figura a 20 lati rispetto ad una con 25. Tutti argomenti di cui si è già sufficientemente a conoscenza con la matematica delle medie, ma sui quali non mi era mai venuto in mente di soffermarmi più di 2 minuti. L’importanza di non dare nulla per scontato: quanto può essere difficile distinguere un quadrato da un cerchio? Mi chiesi questo ed altro, tuttavia trascurando il particolare dell’assenza di altezza. Non mi è infatti venuto spontaneo mettermi nelle condizioni di una figura che sta sullo stesso piano, che ne vede solo il lato, che è in grado di vedere solo segmenti. Situazione simile a quella capitata al protagonista della storia quando è andato a Puntolandia e a Linealandia.
Se tu sai una cosa, non è detto che anche gli altri la sappiano
Chi sa poco, è felice: prima di sapere che il Piano non fosse lo Spazio, il quadrato su cui è incentrata la narrazione viveva una vita felice. Il Punto che è unico e solo abitante di Puntolandia, regno senza dimensione, di cui è quindi anche sovrano, è contento così. Pensa di essere l’unico nel mondo. Non sa di essere il nulla di fronte allo spazio. Ma così è felice, parla da solo, si ascolta, riflette inconsapevole della realtà. Bene, dopo questi spunti ricavati dalla lettura attenta di questo libricino, mi sento vivamente di consigliartelo. E’ un testo veloce, scorrevole ma allo stesso tempo illuminante, soprattutto se letto come primo libro di divulgazione matematica. Com’è capitato a me. Se ti va di accettare il mio consiglio, il libro lo puoi trovare qui: Flatlandia Spero di non averti stufato, in caso di qualsiasi dubbio, richiesta o consiglio ti prego di contattarmi direttamente o lasciare un commento qui sotto. Ci sentiamo al prossimo libro! 😉

Il principio di induzione: quando, come e perchè utilizzarlo

Il principio di induzione è un elemento fondamentale nel bagaglio culturale di un matematico. E’ una delle tecniche dimostrative fondamentali di cui chiunque mastichi matematica deve essere in grado di servirsi.

Fondamentalmente le dimostrazioni che meglio si prestano ad adottare questo principio quale linea guida, sono gli enunciati che hanno la seguente struttura:

“Dimostra che X vale per tutti i naturali” oppure “Dimostra che Y vale per tutti i naturali maggiori di K”.

Scommetto che ti sei trovato davanti a situazioni simili più di una volta…

Per dimostrare un enunciato di questo genere, bisogna quindi impostare un caso base e dimostrare poi tramite il cosiddetto “passo induttivo” che tale enunciato, valendo per n, vale anche per n+1. Dimostrando che un enunciato vale per un numero iniziale K (caso base) e per due naturali consecutivi, dimostriamo la sua validità per tutti i naturali. Questo semplicemente perchè abbiamo dimostrato che se E vale per 5 vale anche per 6, abbiamo però dimostrato anche che se E vale per 6, vale anche per 7 e così via.

Semplice da un punto di vista astratto, non del tutto immediato da un punto di vista pratico.

Si possono verificare infatti situazioni in cui il principio di induzione non è proprio di facile applicazione, in particolare il passo induttivo può risultare particolarmente ostico.

Prima di procedere, se vuoi ho anche preparato un video riguardo il principio di induzione e puoi vederlo qui:

Ma vediamo ora un esempio di applicazione del principio di induzione per dimostrare 2 enunciati, uno semplice e uno un po’ meno immediato.

Esempio semplice

Dimostrare per induzione che 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)/2 , n ≥ 1

Verifichiamo innanzitutto la validità di tale enunciato nel caso base, ossia per n=1.

1*2/2=1, ossia abbiamo ricavato 1=1, quindi abbiamo dimostrato che la somma dei primi 1 numeri naturali è 1. Questo si verifica sia sommando banalmente, che applicando la formula al caso n=1.

Passo induttivo : Se vale per n-1, vale anche per n?

Dobbiamo dimostrare ora che 1 + 2 + 3 + .. + n = n(n+1)/2, sapendo che

1 + 2 + 3 + .. + (n-1) = (n-1)n/2

Basterà aggiungere a tale somma n, fare il denominatore comune e verificare se ci si può riportare nella forma di nostro interesse.

(n-1)n/2 + 2n/2 = (n^2-n+2n)/2=(n^2+n)/2=n(n+1)/2

Siamo arrivati esattamente alla forma che cercavamo, senza fare alcuna supposizione. Abbiamo quindi dimostrato che tale forma esplicita la somma dei primi n numeri naturali escludendo lo 0.

Caso meno immediato

Provare che, per ogni n∈N  9^(n+1) + 2^(6n+1) è divisibile per 11.

Caso base: n=0, 9^1 + 2^1 = 11. Perfetto, 11 è divisibile per 11.

Passo induttivo: 9^(n+1) + 2^(6n+1) è divisibile per 11 per ipotesi induttiva. E’ vero che 9^(n+2) + 2^(6(n+1)+1) è divisibile per 11?

Per le proprietà delle potenze, 9^(n+2)=9^(n+1+1)=9^(n+1)*9, analogamente

2^(6n+7)=2^(6(n+1)+1)=(2^6)*2^(6n+1).

Per ipotesi sappiamo che esiste un k∈N tale che 11k=9^(n+1) + 2^(6n+1)

Ora, 9*9^(n+1)+2^6*2^(6n+1) = 9*(11k-2^(6n+1)) + (2^6) * 2^(6n+1) =

= 99k – 9*2^(6n+1) + (2^6) * 2^(6n+1) = 99k + (2^(6n+1)) * (2^6-9) =

= 99k + 55*2^(6n-1) = 11 * (9k + 5*2^(6n-1)) = 11h

Ossia è divisibile per 11, come volevamo dimostrare.

Queste casistiche non sono troppo difficili ma sono utili per comprendere ciò di cui stiamo parlando.

Abbiamo quindi fin’ora visto che il principio di induzione è utile per dimostrare alcuni enunciati e che può essere definito come segue

Dove k ed n sono numeri naturali e P(0) è il caso base. Ovviamente per P si intende un enunciato, una proposizione, ciò che vogliamo dimostrare.

Abbiamo inoltre visto due esempi non del tutto banali ed utili alla sua comprensione.

Esiste anche un principio di induzione forte che ha qualcosa in comune con questo ma l’applicazione e il concetto che ne sta alla base sono differenti. Ci dedicherò quindi un articolo a parte nelle prossime settimane. Per ora mi limito a citarlo, così da ricordarne l’esistenza.

Per oggi è tutto, spero di aver chiarito i tuoi dubbi relativi a tale principio. In caso ne avessi ancora qualcuno, ti prego di contattarmi o lasciare un commento qui sotto. Sarò felice di risponderti.