Archivio mensile:Febbraio 2016

La matematica non è un'opinione

La matematica non è un’opinione

Quante volte ti è capitato di sentire la frase “la matematica non è un’opinione!”? Penso che questa frase sia pronunciata a sproposito talmente tante volte che sia impossibile non averla mai sentita. Inoltre devi sapere che questa frase ha origini italiane, e inizialmente non è stata formulata proprio così.

Vediamo di riassumere l’origine di tale frase:

La storia è semplice: nel novembre 1879 cadde il governo Cairoli II prevalentemente a causa della “tassa sul macinato”, e il re incaricò nuovamente Cairoli di creare un governo Cairoli III. A questo governo non partecipò però più il ministro delle Finanze Bernardino Grimaldi, che aveva fatto i conti e si era reso conto che senza quella tassa lo stato non ce l’avrebbe fatta. Per spiegare la propria mancata adesione, pronunciò la frase «Per me, tutte le opinioni sono rispettabili ma, ministro o deputato, ritengo che l’aritmetica non sia un’opinione.»

 

 

(ilPost)

Già qui può essere chiaro quindi come la frase “la matematica non è un’opinione” non sia corretta. Tuttavia vediamo di approfondire il problema.

Ma cos’è la matematica? Essa è il linguaggio con cui Dio ha scritto l’universo (Galileo Galilei), è un grosso sistema costruito a partire da alcuni assiomi. La matematica può essere considerata una scienza formale. Procede per via assiomatica, ossia partendo da delle proposizioni (enunciati) dati per veri o accettati da tutti, si sviluppa in varie direzioni a patto che le congetture a cui si arriva siano in accordo con gli assiomi di partenza. Pertanto la matematica si basa su dei ragionamenti logici coerenti con il sistema assiomatico da cui si è partiti.

Nel momento in cui viene messo in discussione anche solo uno degli assiomi da cui sono partite tutte le nostre congetture e conclusioni, tutto perde di significato.

Si può quindi dire che i teoremi matematici abbiano validità per sempre (una volta dimostrati), a patto che il sistema assiomatico da cui sono nati non venga ritrattato o dimostrato inadeguato.

Questo è in parole povere ciò che è accaduto con la nascita delle cosiddette geometrie non euclidee dove viene ritrattato il punto di partenza della geometria di Euclide. Ossia i famosi 5 postulati. Ora non possiamo dire che tutta la geometria euclidea (quella che hai studiato da quando avevi 6 anni) sia insignificante, perda di valore. Possiamo però certamente dire come essa sia vera se e solo se sono accettati i 5 postulati su cui essa si basa. Dipende quindi da dove si parte.

Pertanto al posto dell’affermazione “la matematica non è un’opinione”, ritengo sia molto più corretto affermare che “la matematica è la più grande opinione, ma è un’opinione condivisa da tutti  coloro che accettano gli assiomi su cui essa si basa”.

 

 

50+ siti per chi studia matematica

Quante volte ti è capitato di cercare risorse online per risolvere i tuoi problemi o trovare risposta alle tue curiosità e non trovare niente?

In questo articolo troverai una lista con i 50 migliori siti per chi studia matematica. Ti assicuro che molti di questi siti ti aiuteranno e renderanno il tuo apprendimento ed insegnamento della matematica molto più semplici.

I siti elencati sono in italiano ma soprattutto in inglese, purtroppo per la qualità bisogna anche sapersi adattare ad altre lingue.

Intanto colgo l’occasione per suggerirti anche questa lettura molto interessante: La bellezza della matematica

Ci tengo a specificare che i siti sono presentati in ordine casuale, non c’è nessuna classifica.

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Perciò non mi dilungo ancora con le premesse, se credi che possa essere interessante l’articolo anche per i tuoi amici matematici condividi l’articolo adesso o al termine della lettura, apprezzerei molto!

Ecco a te la lista:

1. Ripmat.it  : Questo sito e’ dedicato a chi ha qualche difficoltà con la matematica: la matematica non deve complicarci la vita ma aiutarci a viverla meglio. E’ davvero ricco di lezioni ed esercizi di gran qualità. Sinceramente consigliato. Non fatevi spaventare dalla grafica che è lasciata appositamente minimale, per velocizzare il caricamento (me l’ha detto chi ci scrive 😉 ). E’ in italiano.

2. Hotmath.com : E’ un sito gestito da insegnanti che credono che il supporto immediato con i compiti per casa migliori l’apprendimento della matematica. Anche l’obiettivo di questo sito è quello di aiutare gli studenti in difficoltà con lezioni, esercizi, video e risorse relative ai più svariati argomenti. E’ in inglese.

3. Mathcentral : Sito un po’ meno mirato agli studenti rispetto ai precedenti. Fornisce materiale utile ai docenti (ed anche agli studenti), vi sono infatti numerose lezioni e risorse di vario genere. C’è anche una sezione particolare dedicata alle carriere dei matematici. E’ in inglese.

4. Easymath : Sito ricco di risorse, strumenti, lezioni, video e informazioni riguardo ai principali argomenti di matematica. E’ gestito in modo molto professionale da esperti del settore, ti consiglio davvero di darci un’occhiata. E’ in italiano.

5. Math-drills.com : Math-Drills.com ha migliaia di fogli di lavoro, esercizi e materiale davvero utili per studenti e genitori scaricabili gratuitamente. Questi coprono una gran vastità di tematiche, ottimo per insegnare, ma anche per esercitarsi. E’ in inglese.

6. Olimpiadi.dm.unibo.it : Sito dedicato alle olimpiadi della matematica. Molto interessante per visionare le versioni vecchie, risorse e spunti utili per migliorare la propria logica. Ti consiglio di visitare questo sito, anche se non hai intenzione di partecipare ad eventi simili. E’ in italiano.

7. Scienzematematiche.it : Uno dei forum tematici più ricchi di contenuti presenti in italia. Trovo che ci siano moltissime risposte e discussioni davvero utili, più di una volta questo sito mi ha aiutato a risolvere i miei problemi. Bisogna solo avere la pazienza di cercare 😉 E’ in italiano.

8. Fxsolver.com : Passiamo ora ad un risolutore online.  Questo è un risolutore di equazioni algebriche, accostabili a svariate formule presenti nel database del sito. Sostanzialmente, come gli altri calcolatori che ti presenterò qui di seguito, Fxsolver, si pone l’obiettivo di risolvere in un attimo i “contacci” che a volte non hai voglia o tempo di risolvere. E’ in inglese.

9. Illuminations : lluminations lavora per mettere a disposizione risorse di alta qualità per insegnare ed apprendere la matematica. Sono inclusi strumenti interattivi per gli studenti e supporti per gli insegnanti. E’ in inglese.

10. Codecogs.com : Hai mai sentito parlare di LaTex? Bene, questo è un Tool gratuito che ti consente di scrivere le formule che ti servono in maniera graficamente e matematicamente corretta, così da poterle scaricare immediatamente come immagine. E’ in italiano.

11. AbsurdMath : Absurd Math è una serie interattiva di quesiti matematici. Dovrai procedere attraverso le missioni in uno strano mondo dove il potere più grande sono le abilità e le conoscenze matematiche. Te lo consiglio se hai del tempo libero, è un sito veramente carino. E’ in inglese.

12. Inquiry Maths : Inquiry maths è un sito che ambisce ad insegnare in un modo un po’ particolare, che sinceramente mi piace parecchio. Sostanzialmente mira a far si che gli studenti, posti di fronte ad un problema o ad una situazione particolare (chiamato prompt), riflettano e provino a trovarne una soluzione. E’ in inglese.

13. MathMind : Gran bel canale Youtube che parla di matematica. Se sei iscritto alla newsletter ti ho già proposto qualche loro video se ricordi 😉 Davvero ricco di spunti, professionalità e simpatia. Ve lo consiglio vivamente. E’ in italiano.

14. Mathguide.com : Come si può prevedere dal titolo, è un sito che fornisce numerose guide, schede, esercizi e risorse sui più svariati argomenti matematici. Un servizio di gran qualità. E’ in inglese.

15. Enigmista.org : Se non sei ancora a conoscenza di questo sito, cliccaci subito 😉 E’ una serie di rompicapi, giochi logici organizzati in livelli che ti faranno scervellare. Il sito è organizzato anche con una classifica. Provalo assolutamente! E’ in italiano.

16. Mathway.com : Risolutore di problemi ed esercizi di moltissimi argomenti. Spesso mi chiedo come sia possibile una capacità di riconoscimento simile, ti consiglio di sfruttare questo e gli altri risolutori che troverai in questa lista. E’ in inglese.

17. Mathforum.org : Un forum sulla matematica tutto da scoprire 🙂 Vi sono moltissime discussioni interessanti, è presente anche una sezione dedicata ai puzzle e giochi di logica. E’ in inglese.

18. Math.com : E’ un altro sito che si propone di aiutare nell’apprendimento della matematica, ricco di guide e metodologie particolari di insegnamento. Te lo consiglio. E’ in inglese.

19. Desmos : Disegna grafici di funzioni, rappresenta graficamente dei dati, valuta equazioni e fai molto altro gratuitamente ed online con questo sito ricco di utilità e qualità. E’ in inglese.

20. Math-blog.com : Questo blog è dedicato a promuovere la bellezza della matematica ad ogni livello. E’ molto interessante, soprattutto per la varietà delle tematiche trattate. E’ offerta anche la possibilità di collaborare alla stesura di nuovi contenuti. E’ in inglese.

21. Mathforlove.com/blog : Blog tematico meno indicato all’apprendimento e più rivolto alla divulgazione e alla trattazione di argomenti di interesse generale. Spesso i contenuti condivisi sono molto curiosi ed intriganti. Ti consiglio di farci un giro 😉 E’ in inglese.

22. Terrytao.wordpress.com : Qui si sale di livello. Questo sito non è indicato a tutti, ma solo a chi la matematica la mastica…e bene! E’ un sito dedicato all’esposizione di nuove ricerche e studi matematici, spesso molto complessi da comprendere. Comunque la qualità messa a disposizione sul sito è realmente enorme. E’ in inglese.

23. Wolframalpha.com : Ho pensato di citarlo comunque questo risolutore online, anche se immagino che tu lo conosca già. Non sono necessarie grandi presentazioni, mi limito a dire che secondo me è il migliore presente online. E’ in inglese.

24. GeoGebra : Questo più che un sito, è un software che ti permette di disegnare i grafici di moltissime funzioni. Molto semplice ed utile. Ti consiglio di scaricarlo. E’ anche in italiano.

25. Gowers.wordpress.com : Anche qui il livello della matematica presentata non è certo quello del liceo. E’ un sito che consiglio molto ai più appassionati e curiosi del settore. Molto ben fatto. E’ in inglese.

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26. blog.tanyakhovanova.com : Sito molto ricco di spunti, ricerche e risorse, gestito da una matematica di gran livello, Tanya Khovanova. E’ in inglese.

27. Mathoverflow.net : E’ un sito di domande e risposte per matematici con un certo bagaglio e conoscenza, non è certo lo “Yahoo Answers” della matematica per capirci 😉 E’ in inglese.

28. Redooc : Sito davvero ricco di contenuti utili. Fornisce una vasta gamma di esercizi, lezioni e tutorial per studenti delle superiori e delle medie. Sono disponibili anche dei contenuti premium a pagamento come centinaia di esercizi e lezioni aggiuntive. Esiste anche il blog associato con articoli interessanti pubblicati con un’alta frequenza. E’ in italiano.

29. Sbseminar.wordpress.com : Sito di matematica molto fresco e ricco di nuovi contenuti, non c’è proprio un argomento centrale. Tutto molto utile ed interessante comunque. E’ in inglese.

30. Arsmathematica.net : Sito dedicato alle arti matematiche…tutto da scoprire! E’ in inglese.

31. extrabyte.info : Raccolta di moltissimi esercizi per le superiori e per i primi anni di università, davvero utile e facile da navigare. E’ in italiano.

32. Mathisintheair.org : Altro sito italiano che suggerisco molto spesso sulla pagina Facebook e agli iscritti alla Newsletter. E’ un sito davvero ricco di contenuti, approfondimenti e spunti interessanti. Te lo consiglio vivamente. E’ in italiano.

33. Mentimatematiche.altervista.org : Sito di matematica con varie tipologie di contenuti, dai risolutori ad articoli di vario genere ad una community. Ti consiglio di farci un giro. E’ in italiano.

34. Rjlipton.wordpress.com : Sito molto interessante e ricco di approfondimenti su vari argomenti. Non sono molto semplici da capire alcuni articoli, comunque vale la pensa provarci vista la qualità. E’ in inglese.

35. Galileo.org : Un sito davvero ben fatto, che punta alla divulgazione, all’apprendimento e all’innovazione. Trovo molto interessanti i contenuti pubblicati su questo sito, spesso vado a leggerlo 😉 E’ in inglese.

36. Rudi matematici : E chi non lo conosce questo sito? E’ davvero simpatico e ricco di spunti, iniziative ed approfondimenti di gran valore. Se ci dai un’occhiata, anche veloce, ti assicuro che ci ritornerai. E’ in italiano.

37. Maddmaths.simai.eu : Altro sito italiano che trovo davvero ricco di qualità e risorse. Spesso vado a leggere gli articoli di questo sito, molto attivo anche sui Social con un gruppo Facebook molto interessante e partecipato. E’ in italiano.

38. Xlatangente.it : Sito gemellato al precedente, con una qualità pari al gemello 😉 Anche i contenuti di questo sito sono molto utili ed intriganti. E’ disponibile anche una rivista! E’ in italiano.

39. Math:stackexchange : Sito ricchissimo di domande con le relative risposte, sui più disparati argomenti matematici. E’ in inglese.

40. Siam.org : Anche questo sito è dedicato alle numerose applicazioni della matematica. E’ in inglese.

41. Mathtrain : Passiamo quindi ad un canale Youtube molto ben gestito e arricchito di nuovi video di qualità (anche se la frequenza non è delle migliori). Ti consiglio di darci un’occhiata se hai una mezz’oretta libera.  E’ in inglese.

42. LessThan3Math : A questo canale sono molto affezionato, negli anni passati spesso mi è venuto in aiuto con le sue guide basilari e molto ben organizzate. Sono spiegati praticamente tutti gli argomenti trattati nei corsi di matematica del liceo ed in modo molto chiaro. Ti consiglio fortemente di iscriverti. E’ in italiano.

43. MIT OpenCourseWare : Se hai voglia di imparare online credo che questi corsi gratuiti siano una delle risorse migliori da cui puoi partire. Veramente ben fatti. Sono in inglese.

44. Youmath.it : Questo sito penso che sarebbe degno di essere citato due o tre volte in questa lista. Nel corso degli anni sono stati risolti migliaia di esercizi e dubbi nel forum del sito. Inoltre è costantemente aggiornato con nuove lezioni che coprono praticamente tutti gli argomenti dei corsi liceali e anche molti corsi universitari. Non mi resta che fare i complimenti a chi ogni giorno si dedica alla sua realizzazione. E’ in italiano.

45. History.mcs.st-and.ac.uk : Ti interessa la storia della matematica? Hai voglia di conoscere i grandi personaggi che hanno portato a sapere quello che stai studiando e molto di più? Questo è il sito che fa per te 😉 E’ in inglese.

46. Mateditutti.it : Ritorniamo ad un sito che si propone di aiutare gli studenti in difficoltà per raggiungere gli obiettivi posti nei corsi di matematica delle medie e delle superiori. Il sito devo dire che è molto ben organizzato. E’ in italiano.

47. Coolmath.com : Nella homepage il sito si descrive così: “Love math? Hate math? Need homework help? This site’s for you!”. Direi che meglio di così non si può presentarlo 🙂 E’ in inglese.

48. aaamath.com : Sito ricco di risorse, strumenti ed approfondimenti utili per apprendere ed insegnare la matematica, ti consiglio di farci un salto! E’ in inglese.

49. Archives.math.utk.edu : E’ un sito che rimanda a delle risorse e dei riferimenti parecchio interessanti, ti consiglio di provare a vedere se trovi qualcosa di utile, a me sembra proprio che di qualità ce ne sia! E’ in inglese.

50. Symbolab.com/solver : Altro risolutore online, non ti resta che trovare quello con cui ti trovi meglio e che soddisfa meglio i tuoi bisogni. Penso di avertene presentati abbastanza! E’ in inglese.

La lista termina qui ma se vuoi ricevere un bonus di altri 25 siti davvero utili per chi studia matematica, inserisci qui la tua mail e riceverai un pdf gratuito con tutto ciò che cerchi 😉

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Introduzione alle dimostrazioni matematiche

Con questo articolo voglio parlare di un argomento particolarmente delicato, ossia le dimostrazioni matematiche. Sono pienamente consapevole del fatto che per esaurire la tematica non sia sufficiente nemmeno un libro intero, dato che le dimostrazioni sono uno dei fondamenti della matematica. Infatti l’articolo non nasce con lo scopo di dire tutto sulle dimostrazioni, ma questo è un articolo fatto per evolvere.

L’obiettivo principale è parlare delle dimostrazioni matematiche, partendo da alcuni concetti fondamentali per la trattazione, parlando poi dell’importanza delle dimostrazioni nella matematica e infine (in un articolo separato) delle principali e più basilari tecniche dimostrative, toccando alcuni argomenti di particolare importanza. Essi probabilmente in un futuro più o meno prossimo verranno approfonditi in questo articolo o in altra sede.

La premessa termina qui, ora possiamo finalmente iniziare a parlare delle dimostrazioni matematiche! 🙂

Una definizione abbastanza formale del concetto di dimostrazione può essere la seguente:

Una dimostrazione matematica è un processo di deduzione che, partendo da premesse assunte come valide (ipotesi) o da proposizioni dimostrate in virtù di queste premesse, determina la necessaria validità di una nuova proposizione in virtù della (sola) coerenza formale del ragionamento.

Forse non è comprensibile facilmente a tutti come definizione, tuttavia non è troppo complessa. Ora vediamo comunque di semplificarla ed approfondirla.

Partiamo fornendo due definizioni preliminari abbastanza importanti per le circostanze:

Enunciato: E’ una proposizione di cui ha senso dire che sia vera o falsa, ossia una frase con un valore di verità determinato (Vero o Falso).

Teorema: E’ una proposizione con la quale si vuole affermare che un enunciato sia vero. Solitamente si presenta nella forma A,B,C,D… -> T, dove A,B,C,D sono le ipotesi e T la tesi.

Ho appositamente deciso di non descrivere i due concetti in modo troppo preciso perdendomi in formalismi in quanto ora non voglio entrare in descrizioni e trattazioni troppo rigorose matematicamente. Ciò che ritengo importante ora è fornire un’infarinatura sui concetti e sulle tecniche principali, fornendo esempi prevalentemente di carattere concreto.

Bene, ora possiamo passare ad una definizione più terra terra del concetto di dimostrazione matematica.

Una dimostrazione matematica è un ragionamento con il quale si vuole convincersi e si vuole convincere che un teorema sia vero. Ossia che al verificarsi delle ipotesi A,B,C,D… la tesi si verifichi certamente.

Messa giù così credo che la definizione fornita inizialmente possa risultare più chiara. Tuttavia vediamo di chiarire le idee con un esempio.

Teorema: Se febbraio ha 29 giorni allora siamo in un anno con 366 giorni.

Dimostrazione: L’obiettivo della dimostrazione di tale teorema è dire che partendo dal fatto che febbraio abbia 29 giorni si giunga a dire che certamente ci si trova in un anno di 366 giorni.

Giunti a questo punto, spero di aver chiarito il concetto di dimostrazione matematica, tuttavia ora rimangono in sospeso due concetti importanti (sono due solo perchè per ora non mi pongo l’obiettivo di una trattazione esauriente, davvero difficile a mio parere) : a cosa servono le dimostrazioni e come dimostrare una teorema.

Il primo punto, ossia a cosa servono le dimostrazioni, ha una (o più) risposte molto chiare e importanti.

Per non perdersi in chiacchiere superflue (per il momento) mi limito ad un semplice accenno relativo all’importanza delle dimostrazioni.

La matematica, differentemente dalle scienze empiriche, si basa su un processo assiomatico deduttivo. Esso sostanzialmente ha come fondamento la dimostrazione, in quanto per giungere ad una qualsiasi affermazione è necessario dimostrare in modo logicamente corretto e coerente che partendo da alcuni assiomi (enunciati dati per veri o comunque accettati da tutti) si giunga naturalmente ad una determinata conclusione.

In questo processo è quindi nascosta (ma neanche tanto) l’importanza della dimostrazione matematica. Tuttavia non ritengo questo il momento adatto per parlare in modo approfondito di questa tematica.

Se sei particolarmente ferrato sull’argomento o comunque ti appassiona, sarei molto grato se mi inviassi alcune righe in cui spieghi qual è l’importanza delle dimostrazioni nella matematica, fra qualche settimana pubblicherò un articolo unicamente dedicato a questa tematica, quindi un’articolo collaborativo credo che possa essere la migliore soluzione 🙂

Siccome penso che questo articolo abbia già un buon numero di spunti ed informazioni importanti, per agevolare la lettura ho deciso di parlare del secondo argomento lasciato in sospeso, come dimostrare un teorema, in un articolo a parte.

Intanto ti lascio un link che ritengo utile, sono alcune righe dedicate a fornire un metodo per studiare le dimostrazioni fatte da altri. Infatti spesso risulta più difficile comprendere il ragionamento fatto da altri che farne uno proprio. Ecco l’articolo: Come studiare le dimostrazioni.