Archivio mensile:Dicembre 2015

Il paradosso del mentitore

Questa frase è falsa

 

Hai letto attentamente la frase citata qui sopra? Non sembra essere una frase molto complicata, giusto? 😉 Questo è quello che viene chiamato il paradosso del mentitore.

Ora ti faccio un piccola domanda e ti chiedo uno sforzo un po’ più grande: Sapresti dimostrarmi se la frase sopra citata è vera o falsa?

Hai provato a pensare ad una possibile dimostrazione/spiegazione?

Bene 🙂 sono contento che, incuriosito, hai deciso di proseguire la lettura. Purtroppo però devo dirti che non c’è alcun modo per rispondere alla domanda che ti ho posto. Analizziamo quindi i due casi possibili relativi alla proposizione prima citata, il caso in cui sia vera e quello in cui sia falsa.

  • Se fosse vera, allora la frase non sarebbe veramente falsa (la verità della proposizione non invalida la falsità espressa nel contenuto della proposizione).
  • Se invece la proposizione fosse falsa, allora il contenuto si capovolgerebbe (è come se dicesse “Questa frase è vera“) quando abbiamo appena affermato il contrario.

Spero che tu non ci sia rimasto male…comunque sono sicuro che ci hai pensato almeno un attimo alla possibilità che non vi sia risposta a tale domanda. Dopotutto…il titolo dell’articolo contiene la parola paradosso 🙂

Questo è conosciuto come paradosso del mentitore, o meglio antinomia del mentitore. Talvolta puoi trovarlo anche sotto un nome ancor più suggestivo: Paradosso di autoreferenzialità.

Questo paradosso è stato di particolare interesse per molti personaggi illustri nel corso della storia, alcuni di essi hanno anche provato a fornire un’elaborata e spesso poco lineare soluzione al problema che ti ho posto prima. Ti lascio la possibilità di documentarti liberamente su tali soluzioni, se vuoi a questo link ne potrai leggere alcune 😉

Spero che l’articolo ti abbia incuriosito e che ti abbia lasciato un po’ perplesso, perchè in fondo è questo il bello di un teorema, di un paradosso e della matematica, subito non sono del tutto chiari, ma dopo sono affascinanti 🙂 Lascia pure un commento se hai dubbi, suggerimenti o critiche da pormi, sarò lieto di risponderti.

Il paradosso di Russell

Il paradosso di Russell, formulato dall’omonimo Bertrand Russell tra il 1901 e il 1902, è una delle antinomie più importanti della storia della filosofia e della logica. E’ anche conosciuto dai più come il paradosso del barbiere.

In questa sede ho pensato che fosse più appropriato farne una trattazione più generalizzata, limitandomi quindi ad una semplice enunciazione del paradosso in termini della teoria degli insiemi.

Il paradosso di Russell dice quindi che:

L’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso. Formalmente,

Ora, ho pensato di limitarmi ad enunciare tale paradosso in maniera formale, perchè credo che a fini divulgativi sia più interessante presentarlo proprio come il paradosso del barbiere che, senza particolari sforzi, può essere ricondotto all’enunciato sopra citato.

Il paradosso del barbiere è il seguente:

Un certo Villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato che rade tutti – e unicamente – gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Questi sono i fatti. La domanda è: << Chi rade il barbiere?? >>

Ora potresti pensare, se per caso non avessi mai sentito parlare di questa antinomia, che il barbiere si rada da solo. Tuttavia in tal caso, essendo che lui stesso è un barbiere, lui non dovrebbe essere in grado di radersi da solo in quanto si fa radere dal barbiere. Nel caso in cui invece lui supponga di non essere in grado di radersi e decida di andare a farsi radere dal barbiere, lui stesso, sarebbe necessariamente in grado di radersi da solo.

Forse non ti è proprio chiaro, tuttavia questo è evidentemente un paradosso, una situazione senza alcuna via d’uscita. Sostanzialmente è una contestualizzazione ad una situazione verosimile dell’effettivo paradosso di Russell prima citato.

 

Per adesso ritengo sufficiente averti introdotto a questo paradosso, quindi ti lascio qui di seguito qualche riferimento nel caso tu voglia approfondire personalmente l’argomento, comunque penso proprio che in futuro ci ritornerò su questo tema, dato che mi attrae parecchio.

Per un po’ di storia clicca qui

Per una spiegazione video del paradosso del barbiere clicca qui

Per un topic dedicato alla spiegazione formale ma non troppo complicata del paradosso di Russel clicca qui

Bene, spero di esserti stato utile e di averti stimolato almeno un po’ di stupore e curiosità. Questo articolo non aveva infatti lo scopo di trattare ogni tematica relativa all’argomento, ma semplicemente vuole metterti a conoscenza di questa bizzarra situazione e stimolarti a pensarci su.

Se ti è stato utile o comunque se ritieni l’articolo interessante mi renderesti molto felice se lasciassi un tuo commento qui sotto e/o condividessi l’articolo con i tuoi amici 😉

Detto ciò ti saluto, spero che possa nascere qualche discussione interessante qui o sulla pagina Facebook MATHONE.

Citazioni e aforismi matematici

Ecco una lista con numerose citazioni e aforismi matematici, sono già pronti da condividere su Twitter, ti basterà cliccare sul pulsante Tweet relativo ad ogni frase. Alcune di queste citazioni, superando il limite di caratteri consentito da Twitter, non sono provviste del pulsante per twittarle. Purtroppo non posso farci niente.

Se ne conosci altre che ti stanno particolarmente a cuore, lasciale qui sotto in un commento, provvederò ad ampliare l’elenco 🙂

Se le persone credono che la matematica non sia semplice, è soltanto perché non si rendono conto di quanto la vita sia complicata.
(John von Neumann)

Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi.
(Alfréd Rényi)

La matematica è l’arte di dare lo stesso nome a cose diverse.
(Henri Poincaré)

Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice.
(Alfréd Rényi)

La matematica in generale è fondamentalmente la scienza delle cose evidenti.
(Felix Klein)

“Ovviamente” è la parola più pericolosa in matematica.

L’essenza della matematica è la sua libertà.
(Georg Cantor)

La matematica è la regina delle scienze, la teoria dei numeri è la regina della matematica.
(Carl Friedrich Gauss)

Regola sicura: quando un matematico o un filosofo scrive cose nebbiosamente profonde, enuncia delle assurdità.
(Alfred North Whitehead)

Il cinema è uno dei tre linguaggi universali; gli altri due sono la matematica e la musica.
(Frank Capra)

L’algebra è generosa, spesso ci dà più di quanto le chiediamo.

(D’Alembert)

Another roof, another proof

(Paul Erdős)

Sapere cosa è grande e cosa è piccolo è più importante che saper risolvere le equazioni differenziali alle derivate parziali.
(Stan Ulam)

Immortalità è forse una parola ingenua ma, qualunque cosa significhi, un matematico ha le migliori probabilità di conseguirla.
(Godfrey Harold Hardy)

La matematica non s’apprende. È un occhio che hai dentro, qualcuno ti mostra il campo, e tu vedi. Subito

L’infinito! Nessun altro problema ha mai scosso così profondamente lo spirito umano; nessuna altra idea ha stimolato così proficuamente il suo intelletto; e tuttavia nessun altro concetto ha maggior bisogno di chiarificazione che quello di infinito

(D. Hilbert)

Nessun romano ha perso la vita mentre contemplava un diagramma matematico (Whitehead)

La matematica è più di una forma d’arte.

(Takakazu Seki)

Una verità matematica non è né semplice né complessa: è semplicemente.

(Emile Lemoine)

Un matematico che non abbia un po’ del poeta non può essere un perfetto matematico.

(Karl Weierstrass)

I matematici sono come gli innamorati. […] Date loro l’ultimo principio, e ne trarranno una conseguenza che sarete obbligati a concedere, e da questa un’altra ancora.

(Bernard Le Bovier De Fontanelle)

Com’è possibile che la matematica, essendo fondamentalmente un prodotto del pensiero umano indipendente dall’esperienza, spieghi in modo così ammirevole le cose reali?

(Albert Einstein)

Dio geometrizza sempre.

(Platone)

Esistono 10 tipi di persone al mondo, quelle che capiscono il sistema binario e quelle che non lo capiscono

Esistono due persone al mondo. Quelle che amano la matematica e quelle che ancora non hanno scoperto di amare la matematica.

Esercizi matematica superiori

Qui di seguito vengono pubblicati mano a mano degli eserciziari, abbastanza brevi e mirati, relativi ai vari argomenti sviluppati nel sito. Ogni esercizio è accompagnato dalla relativa soluzione e sono tutti raccolti in un file pdf scaricabile cliccando sul link.

Se questi esercizi e quelli risolti sul sito non ti sono sufficienti, non esitare a chiederne altri oppure (ancora meglio) scrivi nei commenti gli esercizi che vuoi che vengano risolti, nel giro di poco tempo ti rispondo con la risoluzione passo a passo.

Algoritmo calcolo radice quadrata

Scommetto che, a meno che non odi proprio profondamente la matematica, ti sei chiesto più di una volta se i valori delle radici quadrati piovano dal cielo o se ci sia un metodo per calcolare la radice quadrata di un numero n, magari anche approssimata.

Sono quindi lieto di dirti che ESISTE un algoritmo che ti permette, se lo applichi correttamente, di calcolare la radice quadrata approssimata quanto vuoi.

Per spiegarti come si fa, ho deciso di usare un esempio, così dovrebbe risultarti più semplice.

Prendiamo un caso non troppo facile, nè difficile, ossia calcoliamo la radice quadrata di 729. Se non lo sai, questo non è proprio un numero a caso, ma è il quadrato di 27. Questo sarà quindi il valore che ci aspetteremo di trovare una volta applicato correttamente l’algoritmo.

Bene, INIZIAMO!

Innanzitutto, partendo da destra, metti un puntino (separatore) ogni due cifre. Ho scelto apposta un caso in cui le cifre sono dispari, così da mostrarti il caso meno ovvio (tra gli esempi di media difficoltà) che potrebbe capitarti.

Ti rimarrà quindi una cifra spaiata, nel nostro caso il 7.

Ora pensa al più grande numero che elevato al quadrato sia minore o uguale al numero della prima coppia. Nel nostro caso la prima “coppia” è 7, quindi il numero da noi ricercato è il 2.

Scrivi quindi 2 alla sinistra del numero. Per semplificarti la vita, potresti usare una schematizzazione simile a quella usata per la divisione. Trovi un esempio visuale nel video che ho postato qui sotto.

Il 2 sarà quindi la prima cifra della radice quadrata di 729 (proprio come ci aspettavamo 🙂 )

Ora riscrivi sotto il 7 il  quadrato di 2 sotto il 7. La differenza tra i due (7-4) la andrai quindi a scrivere sotto il 4.

Abbassi ora la seconda coppia di cifre, nel nostro caso andrai quindi a terminare tutte le cifre disponibili.

Avrai quindi scritto il numero 329. Anche questo puoi separarlo in “coppie” di cifre, questa volta partendo da sinistra.

Ora, sotto il numero 2 che hai scritto prima (che avevi messo nella posizione dove si accumulerà il risultato finale), scrivi il numero 2×2 (il numero raddoppiato).

La domanda che quindi devi porti è la seguente: Quante volte ci sta il 4 (2×2) nel 32 (prima coppia del numero che ti trovi a sinistra, ottenuto dalla differenza di (7,4) e dall’abbassamento del 29)?

La risposta è 8. Scrivi ora l’8 a fianco del 4 (2×2). Ottenendo quindi 48. Questo numero va poi moltiplicato sempre per l’8, il numero di volte che il 4 ci sta nel 32. 48×8=384. Purtroppo il è maggiore del 329, provo quindi con il 7 al posto dell’8.

Sostituisco quindi nella moltiplicazione 48×8, la cifra 8 con il 7. 47×7=329. “Fatalità” 😉 è proprio il numero che cercavamo. Comunque l’importante è che sia il più grande numero minore di 329 ottenuto eseguendo il seguente calcolo ((nx2)t)xt. Dove, se non ti è molto chiaro, nx2 rappresenta la prima cifra del primo fattore e la t la seconda cifra del primo fattore ed il secondo fattore.

Ora fai la differenza tra 329 (ottenuto a destra eseguendo la moltiplicazione) e 329 (ottenuto a sinistra dopo una differenza ed un abbassamento) e scrivi sotto il risultato. Questo rappresenterà il resto delle nostra radice quadrata approssimata alle unità, che può quindi essere definita una radice quadrata intera. Ovviamente nel nostro caso il resto è (e deve essere) 0, dato che il 729 è un quadrato perfetto.

Ora ricopia il 7 a fianco del 2, ottenendo quindi 27. Ecco quindi terminato l’algoritmo.

Adesso probabilmente ti stai chiedendo: certo, la radice quadrata di un quadrato perfetto la so calcolare anche con la fattorizzazione (se non sai come si faccia non preoccuparti, farò un articolo in cui lo spiego 😉 ), ma se al posto del 729 ci mettessi un altro numero che non è quadrato perfetto? Per esempio 731?

Nessun problema, quest’algoritmo funziona per qualsiasi numero. Puoi infatti decidere quante volte iterare (ripetere) la procedura, ovviamente in relazione al numero di cifre del numero di cui vuoi trovare la radice, ma anche con che precisione trovare la tua radice. Infatti se ti trovi di fronte ad un resto diverso da 0, una volta abbassate tutte le cifre, ti basterà aggiungere tante coppie di zeri a fianco del numero iniziale quanto vorrai trovare la tua radice precisa. Se per esempio vuoi trovarla precisa fino ai decimi, basta che a fianco del 731 ci scrivi due zeri, continuando quindi il tuo algoritmo per un’altra volta, ovviamente mettendo dopo il valore della radice intera la virgola.

Penso di essermi spiegato abbastanza bene, comunque non preoccuparti perchè qui di seguito ti metto a disposizione due strumenti davvero utili per imparare a calcolare le radici quadrate a mano. Queste sono:

  • Un esempio svolto da me su carta (graficamente e visivamente è tutto più facile)
  • Un video in cui viene spiegata la procedura, con degli esempi ulteriori.

Comunque ci tengo a dirti che, se non hai ancora capito bene come si faccia a trovare a mano la radice quadrata di un numero, non è perchè sei stupido, anzi. Questa procedura, come tantissime altre cose, necessita di essere digerita 🙂 Perciò non esitare a chiedermi qualsiasi chiarimento, esempi ulteriori o consigli, sono qui proprio per aiutarti.

E ricordati che nessuna domanda è stupida 😉

Detto ciò ti saluto, spero che possa nascere qualche discussione interessante qui o sulla pagina Facebook MATHONE.

 

Risoluzione esercizi Sistemi di disequazioni di primo grado

Come per i sistemi di equazioni di primo grado, l’obiettivo della risoluzione di un sistema di disequazioni di primo grado è quello di trovare le soluzioni comuni a tutte le disequazioni che formano il sistema. Per fare ciò, è utile utilizzare uno schema in cui si individuano con delle ‘ondine’ gli intervalli che rappresentano le soluzioni di ogni disequazione. La soluzione del sistema sono gli intervalli in cui tutte le disequazioni hanno soluzione. Comunque ciò è più difficile di quello che sembra.

Guarda le risoluzioni degli esercizi qui di seguito e, se non riesci a seguire qualche passaggio o se vuoi che risolva qualche esercizio in particolare, contattami su Facebook o lascia un commento. Sarò felice di risponderti 🙂

Risoluzione esercizi Disequazioni di primo grado

Eccoci arrivati alla risoluzione di alcune disequazioni di primo grado, sia intere che fratte. Una volta che hai imparato a risolvere le equazioni di primo grado, comunque, saranno sufficienti alcuni accorgimenti per imparare a risolvere anche questo tipo di esercizi. Il principale è quello di cambiare il verso della disequazione (mettere maggiore al posto di minore o viceversa) se moltiplichi o dividi per un numero negativo.

Detto ciò, ti lascio alla risoluzione guidata dei seguenti esercizi. Se hai dubbi relativi alle risoluzioni o se vuoi che risolva qualche esercizio particolare, contattami su Facebook (trovi la pagina nella barra laterale del sito) o scrivi nei commenti.

Risoluzione esercizi Sistemi di equazioni di 1° grado

Ecco a te la risoluzione di 4 sistemi di equazioni di primo grado. Ho pensato di risolverne un paio con il metodo di sostituzione, uno con il metodo di riduzione e uno con il metodo del  confronto.

Spero che i passaggi siano comprensibili, in caso non farti problemi a farmi qualsiasi domanda. Ricorda che io sono qua per insegnarti come si risolvono gli esercizi, non aspetto altro che le tue domande 🙂

Se vuoi altri esercizi, vai alla pagina delle Esercitazioni e troverai l’apposito pdf.

Non fare caso a come faccio le parentesi graffe, non ho mai imparato a farle bene 😉

Ecco a te gli esercizi:

Metodo di sostituzione

Metodo di riduzione

Metodo del confronto

Spero di essere stato sufficientemente chiaro, se vuoi che risolva altri esercizi o che ti spieghi meglio qualche passaggio che ho fatto, non farti problemi a contattarmi o a commentare 😉

Risoluzione esercizi Equazioni di 1° grado

In questo articolo troverai la risoluzione di alcune equazioni di primo grado, messe in ordine di difficoltà. Se riesci a seguire agevolmente i passaggi, comprendendoli, sono contento. Ma se trovi problemi nel capire i passaggi che ho svolto, non aspetto altro che le tue domande! 🙂 Il mio obiettivo infatti è quello di migliorare (esercitazione dopo esercitazione) lo stile, la chiarezza e l’utilità degli esercizi svolti e caricati in questa sezione. Infatti il mio obiettivo non è altro che quello di aiutarti, di farti capire le cose 🙂

Se vuoi esercitarti ancora accedi alla sezione Esercitazioni e scarica il pdf con vari esercizi sull’argomento, con le soluzioni ovviamente 🙂

Ecco a te alcuni esercizi risolti:

 

Se hai problemi di qualsiasi genere lascia un commento! Sarò felicissimo di aiutarti 🙂

Il paradosso di Monty Hall

Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere fra tre porte: dietro una di esse c’è un’automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un’altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: “Vorresti scegliere la numero 2?” Cambieresti la tua scelta originale?

Questo paradosso nasce da un famoso gioco televisivo condotto appunto da Monty Hall. Ad un primo impatto, te cosa faresti? Cambieresti la tua porta o la terresti?

In questo articolo, quindi, imparerai qualcosa di nuovo relativamente al famoso Paradosso di Monty Hall.

Io, escludendo per un primo momento un ragionamento probabilistico, la terrei. Infatti, pensando che il conduttore è consapevole di dove si tiene la macchina, sarebbe portato a chiedermi di cambiare la porta scelta se sa che la porta che ho scelto io nasconde la macchina. Ragionando quindi sulla psicologia inversa, io come penso molti altri, sceglierei di non cambiare la mia scelta.

La probabilità tuttavia dimostra che la mia scelta, da un punto di vista statistico, è errata.

Inizialmente infatti la probabilità di scegliere la porta che nasconde la macchina è di 1/3. Quella di scegliere una capra è invece 2/3. Ora, quando il conduttore apre una porta che nasconde una capra, le probabilità cambiano.

Analizziamo quindi i due casi: cambio la porta, non cambio la porta.

Nel caso 1, la probabilità che la mia porta nasconda una macchina rimane quella iniziale, anche dopo che la terza porta verrà aperta. Pertanto la probabilità che ho di vincere un’auto è del 33%.

Caso 2. Se per “sfortuna” tu hai scelto fin da subito la porta con l’auto (33%) e cambiassi porta, ovviamente vinceresti una capra. Questo evento avrà quindi il 33% di probabilità di verificarsi. Mentre se la tua prima scelta ti portasse ad una porta con una capra, ovviamente cambiando porta vinceresti un auto. Quindi la probabilità di vincere un’auto è uguale a quella di scegliere una capra all’inizio, ovvero 66%.

Risulta quindi evidente che in qualsiasi caso, statisticamente parlando, è conveniente cambiare porta quando viene richiesto dal conduttore, perchè si ha esattamente il doppio di probabilità di successo rispetto al caso 1.

Detto ciò ti saluto, spero che possa nascere qualche discussione interessante qui o sulla pagina Facebook MATHONE.