Trasformata di Fourier : cos’è e come viene utilizzata

Un suono è un’unione di note esatte, di suoni perfetti e semplici. Ma è possibile sapere da che note elementari è composto un generico suono? E’ possibile scomporre un rumore, un segnale nelle onde elementari che lo compongono? Sì, e uno strumento che ci permette di procedere verso quest’obiettivo è la trasformata di Fourier.

trasformata di Fourier

Prima di passare a delle formalizzazioni matematiche, voglio provare a farti intuire direttamente le caratteristiche principali di questo potente strumento con un analogia molto semplice 😉

La trasformata di Fourier e il minestrone

Di sicuro hai già mangiato, almeno una volta e magari controvoglia, il minestrone. Questo piatto non è che un miscuglio di varia verdura ed eventualmente cereali, che si amalgamano in un gusto più o meno omogeneo e nel quale è difficile distinguere esattamente tutti i sapori. Ma cosa c’entra il minestrone con la trasformata di Fourier? Non c’è fretta, ci arriviamo subito con queste semplici domande.

Cosa fa la trasformata di Fourier?

Dato un minestrone ne trova gli ingredienti.

Come fa?

Fa passare il minestrone da dei filtri di “dimensioni” diverse, così da separare tutti i suoi ingredienti.

Perchè?

Le ricette sono più semplici da analizzare, comparare e modificare rispetto a dei minestroni già pronti.

Come possiamo ottenere di nuovo il minestrone?

Frullando insieme tutti gli ingredienti appena separati.

Le domande qui sopra possono sembrarti assurde e completamente sganciate da ogni concetto matematico, ma ti assicuro che quanto descritto fino ad ora ci aiuterà (parecchio) nel proseguire l’analisi della trasformata di Fourier.

Prima di avanzare nella spiegazione, ci tengo a precisare alcuni dettagli sul minestrone che saremo in grado di analizzare con questo nuovo strumento matematico.

Innanzitutto è abbastanza evidente che per procedere alla sua filtrazione e separazione completa, è necessaria una serie di tutti i possibili “passini” (o filtri). Dobbiamo essere in grado potenzialmente di individuare qualsiasi ingrediente, infatti è chiaro che non saremo mai in grado di separare i fagioli dal resto se non abbiamo il filtro per i fagioli.

Inoltre i filtri devono poter agire in maniera indipendente, infatti le carote NON devono influenzare il buon funzionamento del filtro delle patate. Per concludere, con questi filtri siamo in grado di analizzare dei minestroni particolari, in cui l’ordine con cui componiamo gli ingredienti non porta a risultati differenti. Ovvero la ricetta non dipende dall’ordine con cui aggiungiamo i vari componenti.

Bene, fatta questa premessa (riassunta nell’immagine qui sotto), passiamo ad una descrizione matematica della trasformata di Fourier 😉

trasformata di fourier e minestrone

Introduzione matematica alla trasformata di Fourier

Ora smettiamo di parlare di cucina e iniziamo a parlare di funzioni 😉 Il nostro minestrone è infatti una funzione, una composizione di molteplici onde elementari.

Segnale trasformata di Fourier

Scomposizione trasformata di Fourier

Le due immagini qui sopra sono la rappresentazione di quanto detto fino ad ora. In particolare la funzione/segnale (il minestrone) in analisi è rappresentata nella prima figura ed è $f(x)=\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)$, mentre la sua scomposizione negli “ingredienti” elementari è rappresentata nella seconda figura. In particolare i suoi elementi fondanti sono $\sin(x),\sin(2x),\sin(3x)$, che sono tre onde elementari a frequenze differenti.

La trasformata di Fourier, più o meno direttamente, è in grado di fornire questa scomposizione in “ingredienti” elementari di un generico segnale in input.

Ma vediamo in concreto come possiamo definirla matematicamente, direi che le premesse sono ormai sufficienti 😉 La definiamo solo per funzioni appartenenti ad un particolare spazio metrico, la teoria da sviluppare altrimenti sarebbe ben più ampia.

Definizione 1 (Funzione a quadrato sommabile)

Si dice che una funzione $f(x)$ di una sola variabile reale, a valori reali, è a quadrato sommabile su un preciso intervallo $I=[a,b]$ se vale la seguente:

\[ \int_a^b |f(x)|^2\,dx\;<+\infty\,,\]

in tal caso si può scrivere $f\in\,L^2(I)$.

La trasformata di Fourier, per una funzione a quadrato sommabile, è una funzione $\mathcal{F} : L^2(\mathbb{R})\rightarrow L^2(\mathbb{R})$, ecco una definizione operativa:

Definizione 2 (Trasformata di Fourier)

Data una funzione $f\in\,L^2(\mathbb{R})$, si dice trasformata di Fourier di $f$ la seguente:

\[ \mathcal{F}\{f\}(t) = \hat{f}(t) = \,\int_\mathbb{R} f(x)\,e^{-2\pi i x}dx,\;\forall\,t\in\mathbb{R}.\]

Nel caso tu sia già a conoscenza dello sviluppo in serie di Fourier, qui di seguito riporto il procedimento che evidenzia l’origine della trasformata a partire da questo sviluppo 😉

Data una funzione $f\in \,L^2([-T,T])$, ne posso definire i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier come segue: \[a_n=\frac{2}{T}\int_{-T}^{T} \cos\left(\frac{2\pi n}{2T}x\right)f(x)dx,\qquad b_n=\frac{2}{T}\int_{-T}^{T} \sin\left(\frac{2\pi n}{2T}x\right)f(x)dx.\]

Definiamo ora

\[ c_n = a_n – ib_n = \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} \left(cos\left(\frac{2\pi n}{2T}x\right)-i\sin\left(\frac{2\pi n}{2T}x\right)\right)f(x)dx =\]\[ = \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} \left(cos\left(-\frac{2\pi n}{2T}x\right)+i\sin\left(-\frac{2\pi n}{2T}x\right)\right)f(x)dx =\]\[=  \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} e^{-i\frac{2\pi n}{2T}x}f(x)dx \] e detto $t_n=\frac{n}{2T}$, si ha \[c(t_n) = \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} e^{-2\pi i t_n x}f(x)dx. \]

Ora l’ultimo step per arrivare ad ottenere la trasformata di Fourier è pensare di passare al limite per $T\to + \infty$. Per preservare le informazioni che questo sviluppo in serie mi fornisce, posso pensare di rimuovere il coefficiente $1/2T$ che altrimenti farebbe tendere il tutto a 0. Ottengo quindi \[c(t) = \int_\mathbb{R} e^{-i2\pi t x}f(x)dx.\]

Ma pensiamo un attimo a cosa stiamo facendo passando al limite, così da renderci conto che effettivamente il tutto rispecchia l’analogia del minestrone 😉 . Il limite ci porta a considerare la funzione reale in tutto il suo dominio (chiaramente se è definita su un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ non ha senso definire la trasformatasu tutto $\mathbb{R}$). In questo modo codifichiamo tutti i valori assunti dalla funzione.

Codifichiamo?! In che senso?

Trasformazione nello spazio delle frequenze

Ecco, questo non l’avevo ancora specificato…immagino ti sia già chiesto il perchè questo operatore matematico sia chiamato TRASFORMATA e non integrale o in altro modo. In effetti un senso dietro  a questa scelta c’è, infatti tale operatore trasforma delle informazioni appartenenti ad un dato dominio, quello dei reali, in informazioni in un secondo spazio, quello delle frequenze.

E’ proprio questo l’obiettivo della trasformata: trasformare le informazioni di un segnale dallo spazio reale allo spazio delle frequenze. Infatti il parametro $t$ che abbiamo utilizzato nella costruzione matematica precedente è proprio da intendersi come una frequenza!

E’ probabile che queste ultime righe ti siano poco chiare, un po’ per colpa mia (non è facile semplificare un concetto avanzato come questo), un po’ perchè va metabolizzato con calma. Ma vediamo di consolidare il tutto con un paio di grafici 😉

       

In questo esempio sono rappresentate a sinistra la funzione $f(x)=e^{-4x^2}$ e a destra la sua trasformata. Vediamo intanto i calcoli che ho fatto per trovarla 😉

\[\hat{f}(t) = \int_\mathbb{R} e^{-2\pi i x t}e^{-4x^2}dx = \int_\mathbb{R} e^{-2\pi i x t-4x^2}dx=e^{-\frac{\pi^2t^2}{4}}\int_\mathbb{R} e^{-(2x+\frac{\pi it}{2})^2}dx \] e sostituendo $s=2x+\frac{\pi it}{2}$ si ha $ds = 2dx$ e quindi $dx=ds/2$. Ottengo così \[ e^{-\frac{\pi^2t^2}{4}}\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} e^{-s^2}ds = \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-\frac{\pi^2t^2}{4}} \]

Benissimo, ma a cosa ci serve trovare la codifica (ordinata) del segnale reale nello spazio delle frequenze? Eh, qui arriva il bello 😉 Immagina di andare ad uno spettacolo all’aperto e di dover registrare l’audio. Inevitabilmente registrerai del rumore che è fastidioso quando lo si riascolta. Bene, la trasformata di Fourier aiuta a rimuoverlo 😉

Infatti il rumore supponiamo corrisponda a delle alte frequenze acustiche. A questo punto ti basta codificare i segnali che hai raccolto, nello spazio delle frequenze e semplicemente tagliare da un certo punto in poi il tuo grafico.

In questo caso mi sono immaginato di voler rimuovere dal segnale da cui siamo partiti, $f(x)=e^{-4x^2}$, le frequenze di intensità superiore ai 0.6 Hz (gli Hertz sono l’unità di misura delle frequenze, 1 Hertz = 1 / 1 secondo). Allora ho rimosso, nello spazio delle frequenze, tutto ciò che è evidenziato in blu nell’immagine qui sopra. Al posto di tale parte della curva, posso sostituire una funzione costantemente uguale a 0.

Quindi, intuitivamente, più $f$ è regolare e priva di oscillazioni, più la sua trasformata $\hat{f}$ sarà concentrata attorno all’asse delle ordinate, nello spazio delle frequenze.

Se stai seguendo bene il filo del discorso, sono certo che ti sia sorta la seguente domanda: Ma cosa me ne faccio del segnale “pulito” dal rumore se lo conosco solo nello spazio delle frequenze? C’è un modo per tornare nello spazio “reale” e potermi sentire il suono ripulito dal rumore?

Certo che c’è! Si chiama formula di inversione per la trasformata di Fourier 😉

Vediamo però prima di introdurla un risultato interessante che ci avvicina alla formula che ci interessa:

Se $\hat{f}\in L^2(\mathbb{R})$, e lo sarà sempre nel caso $\f\in L^2(\mathbb{R})$, allora $\mathcal{F}: L^2(\mathbb{R})\rightarrow L^2(\mathbb{R})$ è invertibile e vale \[\hat{\hat{f}}=f(-x).\]

La dimostrazione di questo risultato non è nulla di troppo complicato ma preferisco evitare di riportarla per non appesantire ulteriormente questo articolo. Se ti interessa fammelo sapere che magari ti indirizzo verso qualche risorsa ben fatta 😉

Ah, giusto come curiosità, vale anche il seguente:

\[ \hat{\hat{\hat{\hat{f}}}} = f. \]

Ora penso ti sia abbastanza chiara quale sia la formula dell’inversa $\mathcal{F}^{-1}$, comunque eccola qui:

\[ \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}(t)\} = f(x) = \int_\mathbb{R} e^{-2\pi i (-x) t}\hat{f}(t)dt = \int_\mathbb{R}e^{2\pi i x t}\hat{f}(t)dt.\]

Ecco quindi che ci siamo 🙂 Una volta ripulito il segnale audio raccolto allo spettacolo, abbiamo ormai capito che possiamo riconvertirlo nel segnale reale e ascoltarci lo spettacolo senza fastidiosi rumori. Interessante, no?! Chiaramente quanto visto fino ad ora non è nulla di approfondito, ma secondo me è utile per capire le potenzialità che ha questo strumento matematico e, almeno in via intuitiva, come può aiutarci ad analizzare dei segnali.

A questo punto si potrebbe proseguire in due direzioni:

  1. Elencare le innumerevoli proprietà matematiche della trasformata di Fourier con relativi esempi
  2. Guardare oltre la matematica e parlare un po’ di come può essere utile questo strumento nella realtà.

Per questo articolo ho deciso però di lasciarle entrambe in sospeso e dedicare un articolo ad ognuna di esse in futuro. Mi sembra che abbiamo già fatto un bel percorso con le precedenti righe, partendo da un minestrone siamo passati a ripulire un segnale acustico 😉 Niente male, no?!

Se ti interessa la tematica e hai qualche aspetto che ti interessa maggiormente approfondire fammelo sapere nei commenti. Comunque fra non molto pubblicherò i successivi due articoli, giusto il tempo di riorganizzare le idee e trovare un modo per presentarle.

Se intanto hai la curiosità di approfondire in autonomia questa tematica, ecco alcuni link che di sicuro ti aiuteranno:

  • Trasformata di Fourier per l’ingegneria: LIBRO
  • La trasformata di Fourier è una figata: ARTICOLO
  • La trasformata di Fourier – Uniroma: PDF
  • La trasformata di Fourier – Proprietà ed esempi: PDF
  • An Interactive Guide To The Fourier Transform: ARTICOLO

Con ciò ti saluto, ci sentiamo al prossimo articolo 🙂

2 commenti

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.