Turbolenza: introduzione a questo strano e complesso fenomeno

Turbolenza, un fenomeno che siamo abituati ad osservare quotidianamente in natura ma che la matematica difficilmente domina al momento. E’ meraviglioso come possa essere complicato descrivere con equazioni situazioni che siamo soliti dare per scontate. Chi direbbe mai che non siamo in grado di comprendere pienamente il perchè l’acqua che esce dal rubinetto si muove in quel modo, oppure perchè l’aria si distribuisca in modo particolare attorno al profilo alare di un aereo… 😉

Turbolenza

In questo articolo, faremo un breve viaggio alla scoperta del concetto di turbolenza, analizzando i risultati ai quali la ricerca è riuscita ad arrivare al momento e le domande ancora aperte. Non voglio che diventi un articolo noioso, ma essendo uno degli articoli più applicativi che ho scritto fino ad ora ho intenzione di presentarti molti esempi e immagini 🙂 Inoltre ti avviso già che è un articolo lungo, però per introdurre la turbolenza con un minimo di completezza e matematica è stato necessario…

La turbolenza è attualmente uno dei più grandi problemi fisici ancora aperti ed irrisolti. E’ strettamente legata alla complessità delle equazioni che regolano la dinamica dei fluidi (di Navier-Stokes), uno dei problemi del millennio. Se non sai di cosa sto parlando, dai una letta all’articolo che aveva scritto Erik qualche tempo fa: Problemi del millennio.

Magari ci concentreremo un’altra volta su queste equazioni. Per ora mi interessa evidenziare solamente il fatto che sono equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) fortemente non lineari. Sono un sistema misto di equazioni iperboliche e paraboliche e la caoticità delle loro soluzioni è la motivazione alla base del comportamento turbolento delle correnti.

Le precedenti 4-5 righe, sono dedicate a chi la matematica la mastica abbastanza bene. Se hai capito poco o niente non preoccuparti, non è questo il centro dell’articolo che stai leggendo 😉

Alcune definizioni

Per parlare di argomenti così complessi è chiaramente necessaria una terminologia specifica. Cercando di non appesantire troppo la lettura, ho quindi deciso di dedicare un piccolo paragrafo all’introduzione di alcuni nomi e concetti che ci saranno poi utili.

Fluido: Una sostanza in grado di reagire a delle “forze” (non è del tutto corretto, in realtà si deve parlare di sforzi ma se non sai cosa siano è lo stesso, basta che passi l’idea) perpendicolari alla superficie da essa individuata e di deformarsi indefinitamente se sottoposta a forze tangenziali esterne.

Densità: E’ una caratteristica del fluido, essa è una funzione continua dello spazio e del tempo (sotto le opportune ipotesi che non approfondiremo) che rappresenta il rapporto tra la quantità di massa di fluido contenuta in un volume infinitesimo e il volume stesso:

Viscosità: Si dice viscosità la resistenza che gli strati di fluido pongono allo scorrere l’uno sull’altro, intuitivamente è legata allo scambio di quantità di moto tra i vari elementi di fluido.

Corrente: Un regime di moto associato ad un particolare fluido, completamente descritto dalla terna pressione, densità e campo di velocità. E’ importante specificare che le proprietà che sono associabili alle correnti valgono per ogni fluido che è caratterizzato da quel regime di moto particolare. In seguito parleremo infatti di corrente turbolenta e non di fluido turbolento.

Grandezza caratteristica: In fisica spesso si cerca di lavorare con numeri e quantità a-dimensionali, per astrarre il più possibile l’analisi (e per motivi strettamente numerici). Per ricondurci a delle equazioni a-dimensionali si ricorre alla divisione delle funzioni in gioco per delle grandezze caratteristiche del moto o della geometria che si sta analizzando. Per esempio se stiamo analizzando la corrente in un fiume, possiamo identificare come lunghezza caratteristica l’ampiezza media del fiume. Oppure se dobbiamo lavorare con delle velocità, possiamo a-dimensionalizzarle dividendole per la velocità media della corrente (che può essere trattata come una velocità caratteristica).

Una volta introdotti questi concetti fondamentali, addentriamoci nel vivo della turbolenza partendo dall’esperimento classico condotto da Reynolds per evidenziare la transizione tra un regime di corrente laminare (ordinato) e turbolento (caotico).

L’esperimento di Reynolds

Quest’esperienza ha l’obiettivo di mostrare come, al variare delle condizioni di una corrente, vari anche il comportamento di un sottile “filo” di colorante introdotto nel condotto che ospita il fluido in moto. Nel video qui sotto puoi vedere come si svolge l’esperimento 😉

Senza analizzarlo troppo, si vede (ed è anche spiegato nel video) che a velocità della corrente sufficientemente basse, il filamento di colorante introdotto nel condotto si muove con regolarità ed ordine in un moto rettilineo. Appena la velocità della corrente cresce, il moto si trasforma in moto caotico, disordinato, variabile ed oscillante nel tempo. Chi l’avrebbe mai detto che un semplice aumento di velocità potesse causare un casino del genere?! 😉

Detto ciò, questo comportamento è esattamente ciò che puoi osservare quando apri il rubinetto dell’acqua. Se ne fai uscire poca alla volta, da esso uscirà un sottile filamento lineare d’acqua, se aumenti la pressione del rubinetto diventerà un getto molto più irregolare e oscillante nella forma.

Turbolenza

Per me è stato molto strano scoprire di questa diverso comportamento in funzione della velocità della corrente, infatti sono cose a cui purtroppo siamo abituati e di cui non ci poniamo spesso domande.

Ma quindi che caratteristiche ha questo nuovo tipo di corrente che sembra molto più piena e strana? Nel prossimo paragrafo citerò alcune tra le principali proprietà del moto turbolento, evidenziandone alcuni esempi evidenti nella realtà. Spero ti piaccia come approccio al fenomeno 😉

Alcune proprietà della turbolenza

Il moto turbolento della corrente è caratterizzato da:

Tridimensionalità: A differenza del moto laminare che si verifica nel caso del rubinetto che fa uscire un filino d’acqua, non è possibile descrivere il moto che si presenta aumentando la pressione del rubinetto come una corrente parallela. E’ evidente che vanno coinvolte 3 dimensioni per descrivere il caos generato dalle linee di corrente dell’acqua e dalle molecole che si urtano molto frequentemente creando delle traiettorie irregolari e quasi imprevedibili.

Vorticità: Nelle equazioni che regolano la vorticità (che è il rotore della velocità) dopo una breve analisi si può ricavare che nel caso di corrente tridimensionale si ha una vorticità che varia lungo le linee di corrente, autoalimentandosi e ripartendosi lungo le varie direzioni a causa delle variazioni di velocità della corrente stessa. La vorticità si dimostra visivamente come la rotazione degli elementi di fluido (insiemi di molecole, o anche individuabili come blocchetti di fludo) su se stessi, ed evidentemete questo aspetto si verifica nell’esperimento visto in precedenza con il colorante. Infatti il filamento lineare ed ordinato che si vede all’inizio poi va a rimescolarsi, a riempire il condotto e a ruotare su se stesso.

Un altro esempio in cui la presenza della vorticità è molto chiara, sono le correnti dei fiumi che devono passare sotto un ponte. Quando le linee di corrente incontrano un palo di sostegno del ponte, si separano in modo caotico, e le porzioni d’acqua iniziano a ruotare su se stesse, creando una situazione molto confusionaria e burrascosa.

La turbolenza è una proprietà multiscala: Un forte ruolo nella ricerca sulla turbolenza e la sua molteplicità di scale è dovuto a Kolmogorov, grande matematico a cui vengono dedicate anche le cosiddette scale di Kolmogorov, ovvero i fenomeni turbolenti sulle microscale. Ma cosa si intende per molteplicità di scale?

Semplicemente la turbolenza non si esplicita allo stesso modo se valutata su spazi molto piccoli (lunghezze caratteristiche ridotte) o su macroscale quali potrebbero essere le analisi fatte sulle lunghezze caratteristiche tipiche del fiume stesso. In particolare, si può notare una cascata energetica a carico della viscosità (che può essere vista come un insieme di forze interne che portano a dissipare energia fino a raggiungere la stabilità) che trasforma i vortici delle macroscale (molto instabili perchè di grandi dimensioni), nei vortici di dimensioni molto ridotte più stabili. A questo punto l’energia rimasta dopo la dissipazione nei vortici stabili, si disperde in calore.

Quindi i vortici delle correnti turbolente non sono solo quelli che vediamo ma c’è molto di più! Questo è uno dei motivi principali per cui l’analisi del regime turbolento delle correnti è molto complicato. Esso infatti non può essere trattato nei rispetti della sua natura seguendo un approccio completamente statistico, basato su medie nel tempo, altrimenti si supporrebbe che ad ogni scala di ingrandimento il fenomeno si esplicita allo stesso modo.

Turbolenza

Non abbiamo tempo e modo di approfondire un approccio statistico alla turbolenza mediante le equazioni mediate di Reynolds (RANS), seppur molto interessante e utilizzato a livello ingegneristico. Tuttavia ti basti sapere che trascura molti aspetti della fisica del fenomeno, però è funzionale per valutare le dinamiche turbolente in quanto permette di ottenere risultati significativi in tempi ragionevoli (a differenza della risoluzione numerica diretta delle equazioni della turbolenza che richiederebbero tempi esorbitanti per lavorare efficacemente).

Apparente casualità: Come ogni fenomeno caotico che si rispetti, non stiamo parlando di un fenomeno stocastico e completamente imprevedibile, ma la turbolenza soffre di una forte sensitività ai dati iniziali. Cosa vuol dire? Beh, semplicemente che se noi proviamo a riprodurre l’evoluzione della corrente turbolenta due volte consecutive con condizioni molto simili tra loro, potremmo avere sviluppi completamente diversi. L’unico modo che abbiamo per essere certi di due sviluppi coincidenti sarebbe rimettere al loro posto tutte le molecole dell’universo nel momento della sua origine 😉

Un esempio molto semplice e visivo di questa sensitività ai dati iniziali tipico delle dinamiche caotiche è il pendolo doppio, la cui lieve variazione del punto di partenza del pendolo causa evoluzioni completamente diverse, come puoi vedere dal video qui sotto:

Potrei elencare altre proprietà, come la dissipazione energetica o l’instazionarietà, ma siccome immagino che ormai ti stai stufando perchè l’articolo è lungo, preferisco passare a riaccendere un po’ gli animi proponendoti alcuni esempi, citando il problema da un milione di dollari ad essa legato e dicendo il perchè sia fondamentale il progresso della ricerca matematica in questo campo 🙂

Un milione di dollari e perchè provarci

Come già detto nelle righe precedenti, accanto alla comprensione della turbolenza, si hanno dei problemi matematici molto grossi, dovuti alla valutazione dell’esistenza o meno di soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes per particolari flussi e particolari ipotesi.

Ecco quindi citato testualmente il problema la cui risoluzione porterebbbe a farti guadagnare un milione di dollari 😉

Turbolenza

Ovvero:

Data una condizione iniziale v0 = v(x,0), campo vettoriale nello spazio euclideo, esiste una funzione vettoriale per la velocità v(x,t) e una funzione di pressione p(x,t) che soddisfa le equazioni di Navier-Stokes? Esiste una soluzione se v0 è liscia?

A parte questo spunto e stimolo, mi fa piacere condividere alcuni dei motivi per cui è importante spingere la ricerca in questi campi.

Una maggiore comprensione del fenomeno della turbolenza avrebbe notevoli ricadute tecnologiche ed economiche. Si pensi, ad esempio, al risparmio che si avrebbe se si potesse mantenere laminare (ordinata e regolare) la corrente attorno ad un aereo che vola per dodici ore considerato che la metà del peso al decollo è dato dal carburante. Infatti la transizione che avviene ad alte velocità da moto laminare a turbolento causa una resistenza d’attrito molto più grande dell’area al “fluire” dell’aereo, richiedendo così maggior carburante per gestire l’intero volo.

Turbolenza

Tra i numerosi settori tecnologici in cui compare la turbolenza ricordiamo i processi di combustione, i condotti per il trasporto di gas/petrolio, le scie dietro ai mezzi di trasporto, il comportamento del sangue in arterie/vene (emodinamica), lo studio di aneurismi celebrali, la diffusione di spray ed aerosol.

Insomma, i campi che richiedono un avanzamento degli studi sulla turbolenza sono molti, ecco perchè ritenevo utile provare a scrivere questo articolo, sapendo però che è un rischio dato che non è un argomento semplice e facile da descrivere con poca matematica (ho però cercato di usarla poco, se non niente per questo primo articolo).

Alcuni esempi visivi

Questa sezione ho deciso di svilupparla usando poche parole scritte e proponendoti molti video che secondo me rendono molto di più, soprattutto per farti un’idea e contestualizzare tutto ciò che hai letto fino ad ora 🙂

Flusso laminare e flusso turboleento in un fiume

Turbolenza e numero di Reynolds

Evoluzione strato limite turbolento attorno a lamina piana

Breve documentario storico con molti esempi sulla turbolenza

Riferimenti per approfondimenti

Come mi è stato consigliato da alcuni di voi, d’ora in poi inizierò ad aggiungere in coda agli articoli alcune risorse per approfondire ciò che si è solamente introdotto nelle righe precedenti. Potrebbero essere libri di testo, libri divulgativi, pdf , video o articoli, dipenderà dal tema e dalle risorse che considero più valide.

Qui di seguito trovi alcuni articoli che trattano l’importanza del problema della turbolenza da un punto di vista fisico e matematico. I primi due sono anche molto rilevanti, a parer mio, perchè il primo spiega il perchè la turbolenza sia ancora un problema matematico aperto e il secondo ne fornisce una comprensione fisica più completa.

  1. Why global regularity for Navier-Stokes is hard
  2. On the nature of turbolence
  3. Un testo sulla dinamica dei fluidi : Fluid Dynamics

Spero di non averti annoiato troppo, ti ringrazio se sei arrivato a leggere fin qui e spero di sentire qualche tuo parere riguardo questa tematica e l’articolo 😉

Cos’è un algoritmo? Definizione e qualche esempio

Cos’è un algoritmo? Eh, domanda non troppo facile ma senz’altro di fondamentale importanza. Ormai siamo nell’era digitale, dove gli algoritmi regnano sovrani. Tutti i dispositivi che utilizziamo quotidianamente sono basati su essi, direi quindi che un po’ di loro conoscenza non guasta a nessuno 😉 .Cos'è un algoritmo?

Se alla lettura preferisci vederti un video eccone uno che ho preparato a riguardo. Uno un esempio un po’ diverso ma il senso è lo stesso 😉

Introduzione ed esempi pratici

Per definire questo “oggetto”, vediamo di partire da un semplice esempio 😉 Sai preparare la pasta giusto? Bene, mentre la prepari segui un algoritmo ben preciso:

  1. Metti l’acqua nella pentola
  2. Accendi il fuoco e sopra ci metti la pentola
  3. Aspetti 5-10 minuti che l’acqua bolla
  4. Pesi la pasta su una bilancia
  5. Aggiungi il sale all’acqua
  6. Aggiungi la pasta nella pentola
  7. Aspetti 5-10 minuti di cottura
  8. Al termine la scoli e la aggiungi al sugo.
  9. Quindi la servi nel piatto

Chiaramente non fissiamoci troppo sui dettagli della preparazione della pasta, magari tu hai una ricetta super segreta diversa da questa 😉 Ah, giusto per inciso ho scoperto di recente che non è necessario tenere il fuoco acceso dopo che l’acqua ha raggiunto la temperatura di ebollizione, si può buttare la pasta, spegnere la fiamma e questa si cuocerà lo stesso. Guarda questo video di Dario Bressanini se non ci credi 🙂

Comunque, mettiamo un po’ da parte la pasta, l’importante è rendersi conto che esistono delle istruzioni che vanno bene in qualsiasi momento per prepararla e funzionano sia che le metta in pratica io che tu. Inoltre il risultato è sempre lo stesso, un bel piattone di pasta 🍝🍝

Vediamo quindi di estrarre le proprietà fondamentali di un algoritmo a partire da questo semplice esempio. Esso è una sequenza di istruzioni/azioni che vanno eseguite in un ordine specifico. Questa sequenza è inoltre finita in tempo, nel senso che sai già che riuscirai a preparare il tuo piatto di pasta in 15-20 minuti. Inoltre questa ricetta non può essere ambigua, interpretabile, ma deve funzionare chiunque sia il “cuoco”. Per concludere, le istruzioni devono essere elementari, semplici, non ulteriormente spezzabili in azioni più semplici.

Vediamo quindi un esempio più matematico prima di arrivare a definirli formalmente 😉

Algoritmo di Euclide

E’ un algoritmo che si usa per trovare il massimo comun divisore tra due numeri naturali qualsiasi. Se non sai cosa sia il massimo comun divisore (MCD), è semplicemente il numero naturale più grande in grado di dividere esattamente i numeri di partenza. Quindi si ha che esso è uguale ad 1 nel caso essi siano coprimi, ovvero privi di divisori comuni.

Ecco l’algoritmo scritto in linguaggio comune (pseudocodice):

Prendi $a,b$ due numeri naturali

Definisci una variabile naturale $r$

Finchè $b$ diverso da $0$:

>>> $r=a%b$ (il resto della divisione tra $a$ e $b$)

>>> $a=b$

>>> $b=r$

Restituisci $a$

fine

Ora non sto qui troppo a soffermarmi sul perchè questo algoritmo funzioni, proseguiamo oltre..

Ciò che importa  per il nostro obiettivo attuale è notare come le operazioni che questo algoritmo comporta sono elementari: divisioni intere e sostituzioni di variabili, niente di più.

Inoltre questo algoritmo fa al più $b$ iterazioni del ciclo, nel caso in cui essi siano coprimi e quindi termina in tempo finito 🙂 Proprio come avevamo notato prima nell’algoritmo per la pasta.

Chiaramente questo è un algoritmo ancora semplice, in fondo all’articolo ti indicherò alcuni algoritmi grossi e importanti così da farti venire voglia di approfondire l’argomento da solo 😉

Definizione più rigorosa del concetto di ALGORITMO

Si dice algoritmo una sequenza finita e ordinata di operazioni elementari e non ambigue che permettono di risolvere, in maniera deterministica, un problema in tempo finito, ovvero l’algoritmo ha un termine.

Se non hai mai sentito parlare di algoritmo in termini un po’ più formali, è molto probabile che ti sfugga l’importanza di qualcuna delle richieste che l’algoritmo deve soddisfare per essere definito tale.

Vediamo quindi un paio di esempi che sembrerebbero algoritmi ma non lo sono perchè non rispettano una o più di queste strane proprietà.

Un esempio semplice di non determinismo di una sequenza di istruzioni potrebbe essere introdotta nella procedura di preparazione della pasta. Per esempio si decide che appena si è messa l’acqua a bollire si lancia un dado e a seconda del numero che esce si salterà una delle operazioni che abbiamo elencato successivamente. Non solo questa procedura non è deterministica ma non è nemmeno detto che ci permetta di ottenere il risultato finito 🙂

Un altro “algoritmo” molto semplice ma che non può essere definito tale in quanto non termina è il seguente:

$a=2$

Finchè a è pari:

       $a=2a$

Restituisci $a$

fine

Chiramente se moltiplichiamo un numero pari per 2, esso rimarrà pari 😉 Può sembrare stupido come esempio, ma è sufficientemente chiaro per capire l’importanza di queste proprietà nella buona caratterizzazione di un algoritmo.

Per finire questa carrellata di esempi di non algoritmi, discutiamo un attimo della non ambiguità. Un esempio molto semplice, legato per sempre alla preparazione della pasta, è il seguente:

Nella ricetta invece di dire dopo 10 minuti spegni il fuoco e scola la pasta, supponi di dire di scolarla quando ti sembra cotta.

Il “sembrare cotta” non è chiaramente un parametro oggettivo. Sono d’accordo che nella realtà lo si dice, ma non è un problema dato che noi non siamo macchine ma uomini e donne pensanti, in grado di fare delle scelte in autonomia.

Però se si dicesse così ad un computer, o comunque dare queste istruzioni ad una planetaria o un robottino che cucina per te, è ovvio che lui non sarebbe in grado di decidere quando scolare la pasta (a meno di insegnarglielo, ma questo è un discorso più complicato) 😉 Ecco il perchè dell’importanza della non ambiguità delle istruzioni.

Proprio perchè queste proprietà devono appartenere ad un qualsiasi algoritmo, essi sono anche rappresentabili mediante un diagramma di flusso. Qui sotto ti allego una immagine tipo e in un altro articolo magari approfondiremo la visione grafica degli algoritmi…merita davvero più spazio che qualche riga stracciata qui.

Cos'è un algoritmo?

Fonte dell’immagine: Nonciclopedia, https://goo.gl/tkVqXx

Come anticipato in precedenza, gli algoritmi sono gli elementi fondamentali dell’informatica, sono alla base di ogni processo automatizzato ed automatizzabile. Per cui ho pensato, perchè rimanere su esempi solamente spiegati quando puoi mostrare come lavora un algoritmo matematico nella pratica? Qui di seguito trovi quindi il codice che ho scritto sia in Python che in Matlab di un algoritmo parecchio interessante, da far risalire ai babilonesi, che permette di convergere, relativamente velocemente, alla radice quadrata di un numero reale positivo.

Oltre al codice ho pensato di mostrarti riportate le iterazioni nel caso di cercare la radice del numero 17, per non fare il caso semplice di un quadrato esatto. Certo, verificare che l’algoritmo funziona per un caso particolare non ci permette di dire che esso sia corretto, ma è un buon modo per iniziare a convinrcetene.

Ah, purtroppo non sono capace di inserire codice eseguibile qui sul blog e quindi mi è toccato fare gli screen delle due schermate (Python e Matlab). Il codice è breve quindi puoi copiartelo a mano senza problemi ma mi fa schifo onestamente includerlo in delle immagini ahah 🙂 quindi se sai come inserirlo e mettere la possibilità di eseguirlo fammelo sapere con un commento. Ti lascio al codice e ai risultati. 

P.S. Come criterio di arresto dell’algoritmo ne ho usato uno stupido, ho detto: stoppa l’esecuzione dopo 15 passi. Si può fare molto meglio, il criterio più ragionevole in questa tipologia di algoritmi è di fissare una tolleranza relativa, per esempio 0.1% del numero di partenza, è poi lasciar proseguire le iterazioni fino a che il valore calcolato sarà più vicino al risultato esatto rispetto allo 0.1% di 17 in questo caso.

Radice quadrata babilonese in Python

Radice quadrata babilonese in Matlab

Prima di concludere l’articolo, ti lascio un elenco con alcuni algoritmi interessanti a cui ti consiglio di dare un’occhiata. Se c’è interesse, magari ne approfondiremo qualcuno nei prossimi articoli, in caso faccelo sapere mandando un messaggio alla Pagina Facebook, lasciando un commento qui sotto al post o mandando una mail all’indirizzo list@mathone.it 🙂

Alcuni algoritmi interessanti da approfondire

Preferisco sviluppare questa sezione in maniera molto schematica, lasciandoti una semplice lista di link che rimandano ad una pagina di approfondimento dedicata al particolare algoritmo, per parlarne sul sito ci sarà tempo in futuro 🙂

Ce ne sarebbero molti altri ma per ora direi che è una lista anche troppo lunga, se vuoi guardare qualcos’altro su questo sito, ecco alcuni articoli legati a queste tematiche che avevamo scritto in passato:

Frattali in natura: alla ricerca di questi strani oggetti

Frattali, cosa diavolo sono? Più e più volte ho sentito nominare questo termine in video su Youtube o articoli di divulgazione che mi divertivo a leggere. Tuttavia ho sempre immaginato fossero qualcosa di molto lontano dalla realtà, decidendo così di non interessarmi nemmeno a capire cosa fossero.

Poi è arrivato il momento di scegliere che argomento approfondire nella tesi e, tra le varie proposte, c’erano anche loro, i famigerati FRATTALI.

Frattali in natura

Prima di prendere scelte affrettate, decisi di informarmi e capire cosa fossero, scoprendo che in realtà sono degli “oggetti” molto più vicino a noi di quanto potessi pensare.

Alla fine la tesi non l’ho fatta su questo argomento, ma questa è un’altra storia 😉 Vediamo però di farci un’idea, senza fasciarci troppo la testa di formule ed equazioni, di cosa siano i frattali e di come si possano trovare i frattali in natura.

Prima di iniziare, ecco un video che ti farà entrare nel mood dei frattali 🙂

Hai mai provato a guardare attentamente le nuvole, alcune foglie particolari, le linee costiere di uno stato o altri “oggetti” con forme un po’ particolari?

Hai mai provato a definirli associandovi una particolare forma geometrica di quelle che insegnano nei primi anni di scuola?

Una nuvola ha la forma di un cerchio, o di un ovale, o di un rettangolo? Siamo in grado di definirne i contorni mediante le forme regolari che ormai conosciamo bene?

Beh, non proprio, tutti gli esempi che ho citato fin’ora sono particolari forme ben modellizzate e rappresentate dalla geometria frattale.

Frattali in naturaFrattali?! E cosa sono?

Come possiamo definire intuitivamente un FRATTALE?

Ecco un video sui frattali:

Se volessimo fornirne una caratterizzazione rigorosa e formale, avremmo un po’ di lavoro da fare (che preferisco eventualmente rimandare ad un post più avanzato più avanti se vedo che siete interessati).

Proprietà caratteristiche dei frattali

Vediamo di farci un’idea di cosa siano i frattali, elencandone alcune proprietà:

1. SONO DEGLI OGGETTI CHE GODONO DI FORTE SELF-SIMILARITY.

Sono simili a se stessi. In parole più semplici, se io facessi uno zoom  sull’immagine di un frattale, troverei gli stessi tratti caratterizzanti l’oggetto da cui sono partito.

Prova ad immaginarti di guardare la linea costiera di una regione, ora immaginati di fare lo zoom su una sua particolare area…Riusciresti a renderti conto di aver INGRANDITO l’immagine o ti sembra abbia più o meno la stessa conformazione della linea costiera originale? 

Ecco quindi chiarito cosa si intende per self similarity, di sicuro il video qui sopra è più chiaro delle mie spiegazioni 

2. IL FRATTALE VIENE SPESSO DEFINITO APPLICANDO UNA REGOLA RICORSIVA

Per quanto detto prima, le confromazioni frattali vengono spesso definite mediante l’applicazione della stessa funzione più volte.

Di esempi ne possiamo fare molti, ma per non andare a parlare di equazioni/formule, vorrei che tu ti creassi un’immagine chiara in testa di questi oggetti, ecco quindi come costruire ricorsivamente un oggetto frattale (con carta e penna), chiamato CURVA DI KOCH:

Disegna un segmento su un foglio, meglio se a quadretti e se ha una lunghezza (L) che è multiplo di 3 (solo per chiarezza, dato che magari è la prima volta che incontri questi “oggetti” strani).

Ora, dividilo in 3 parti uguali e cancella quella in mezzo.

Il buco che si è creato in mezzo, riempilo con i lati obliqui di un triangolo equilatero, ossia con segmenti di lunghezza L/3.

Ora ripeti questa procedura su ogni lato infinite volte…ecco che si crea il segmento di Koch, che probabilmente avrai già visto da qualche parte nella sua conformazione a fiocco di neve 

Come chiarimento, ecco un video che ti mostra come originare tale curva:

Come spunto di riflessione invece ti lascio poi pensare al fatto che quest’ultima figura che hai imparato a rappresentare, ha la particolarità di avere area finita e perimetro infinito. Com’è possibile?! Per mostrare tale risultato, se vedo che c’è interesse, scriverò un post in futuro (non preoccuparti, ho già in programma di fare un articolo dedicato al fiocco di Koch ).

3. UN FRATTALE E’ TROPPO IRREGOLARE PER POTER ESSERE DESCRITTO IN TERMINI DI FUNZIONI ABBASTANZA LISCE

Cosa si intende con ‘funzioni abbastanza lisce’? Beh, è molto semplice. Ricordi quando qualche riga più in su ho provato a farti descrivere una nuvola mediante il paragone con una delle figure geometriche note?

Ecco, quelle figure geometriche (ovale, cerchio, esagono…) possiamo definirle curve, funzioni sufficientemente regolari. Chiaramente, come penso tu abbia potuto provare personalmente, non è possibile descrivere nei loro dettagli le nuvole con questa tipologia di funzioni.

Alcuni esempi dei frattali in natura

I frattali in natura si presentano sotto varie forme, dalle foglie, alle nuvole, profili costieri, addirittura nel broccolo romanesco 😉Frattali in natura

Frattali in naturaFrattali in natura

Analogamente, molte strutture del corpo umano riproducono un’organizzazione di tipo frattale.

E’ interessante notare come tale struttura abbia una giustificazione funzionale: anche in questo caso la natura si organizza in tal modo per ottimizzare il sistema.

Anche i vasi sanguigni del cuore presentano ramificazioni di tipo frattale.

Frattali in natura

Da quando Benoit Mandelbrot introdusse per la prima volta il concetto di frattale, la geometria frattale fu utilizzata per modellizzare moltissime situazioni reali, a partire dalla finanza che in alcuni campi utilizza questi comportamenti autosimilari per descrivere l’andamento dei mercati.

Chiaramente queste poche righe che hai letto non avevano l’obiettivo di farti diventare un esperto sui frattali, anche perchè non sarei la persona a cui affidarsi 😉 , ma condividere con te la passione che si può avere verso l’interpretazione della natura in termini matematici.

Infatti, come non mi stuferò mai di scrivere, secondo me la matematica non è inventata dall’uomo, è scoperta per la necessità di comprendere come procede il mondo e per risolvere problemi che si presentano all’occhio umano.

Chiaramente sto parlando di matematica applicata (che è ciò che preferisco), senza nulla togliere alla matematica teorica/pura, anche a me piace la matematica fine a se stess ma non nego che la possibilità di usarla come chiave interpretativa dell’universo (scritto nel linguaggio matematico, come disse un caro amico 😉 ) mi piaccia un sacco ed è ciò che mi spinge a parlarne qui sul sito!

Buon pi-day a tutti!

Ci siamoooo! Era da tantissimo tempo che volevo scrivere questo (breve) articoletto e finalmente ci siamo! Il motivo mi sembra abbastanza chiaro di questa esaltazione dato che per un giorno anche i matematici possono avere il loro breve periodo di gloria e tutti ci possiamo sentire un po’ più nerd e compiacerci di esserlo! 😉 Qui su Mathone ci siamo già più di una volta dedicati a questa famigerata costante, ma credo non vi dispiacerà sentire qualche curiosità in più 😉

pi-day

Di cose da dire sul pi greco ce ne sarebbero tantissime, tuttavia dirle tutte sarebbe lungo e noioso. Mi soffermerò solo su quelle che trovo più interessanti 😉 Pronti, ai posti, via!

Dove e quando

\pi è oramai l’emblema di come la matematica ci pervada nella vita di tutti i giorni. È stato elevato nei secoli quasi come simbolo stesso della matematica (provate per esempio a pensare a quante volte lo si vede nei film ogni volta che si comincia a parlare di matematica!) tanto che perfino i Simpsons ne sono stati testimonial!

Scherzi a parte, sebbene il pi greco, con la sua irrazionalità, trascendenza, aperiodicità, infinità e vattelappesca sia noto e studiato da tantissimo tempo (già i greci avevano cominciato a darci dentro ai loro tempi, Archimede stimando una circonferenza con poligoni regolari inscritti e circoscritti era riuscito a trovare un’approssimazione fino a diverse cifre decimali…), è solo dal 1988 che si è cominciato a celebrare il pi-day.

L’iniziativa parte, tanto per cambiare, dagli Stati Uniti, a San Francisco per l’esattezza, con l’intento nobile di portare al centro dell’attenzione la matematica: una scienza (per alcuni LA Scienza) che non trova spesso motivi per festeggiare. La data designata non poteva non essere il giorno 14 del mese 3; 3,14 appunto!

Dove lo si trova

Per tutti quelli che non sono matematici o fisici purosangue, il pi-greco \pi è solamente il rapporto tra Area e raggio di un cerchio, oppure tra sfera e raggio e così via… ma questo è vero solo in parte… \pi è dappertutto. No veramente, DAPPERTUTTO! Lo si ritrova nella matematica pura (teoria dei numeri e teoria dei gruppi), nell’analisi complessa, nell’analisi, nella probabilità, nella statistica, nella fisica, e mi si seccherebbe la lingua a elencarli tutti!

Tanto per citarvi qualche esempio:

  • nella formula di Eulero e^{i\pi}=-1 definita da Richard Feynman «la più notevole formula della matematica».
  • formule di Green \int_{\mathbb{R}^3}\frac{1}{4\pi|r-r'|}dr'
  • nell’analisi complessa a tout court
  • in statistica
  • In mecanica quantistica! Solo per citarvi il caso più famoso, il principio di indeterminazione di Heisenberg dice che \Delta x\Delta p\geq \frac{h}{4\pi}. Vabbeh. Non fa una piega.
  • In algebra! In algebra! che (sembra) abbia solo a che fare con moduli, anelli, gruppi e ideali! È per esempio connesso strettamente alla funzione \zeta di Riemann… per esempio la seguente equazione è storicamente famosa come Problema di Basilea e fu risolto da Eulero:

\zeta(2)=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\cdots=\frac{\pi^{2}}{6}

  • nel celebre integrale di Gauss

\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} … No seriamente, ceh vi pare una cosa naturale?

Perchè è così importante?

Il pi greco, al dilà di tutta la divulgazione più o meno scientifica di cui se ne è fatta a proposito, rimane tuttora uno dei veri punti interrogativi moderni della matematica e, sopratutto, della fisica.

C’è chi dice che dato che il nostro è un modello approssimato della realtà e che noi abbiamo inventato numeri e operazioni per poter dare senso a quello che ci circonda, allora è ovvio che il pi greco ritorni in maniera sistematica, perchè avendolo “inventato” noi, ritorna ogni volta che abbiamo a che fare con una sfera o un cerchio.

Onestamente però non sono di questa opinione: dove sono le sfere e i cerchi nella formula di Gauss? O nella teoria quantistica dei campi? O per esempio in algebra e nella funzione di Riemann?

Queste sono domande ancora aperte… ma del resto, citando Eulero, pi greco non è altro che

\pi=\frac{log(-1)}{i}

dove i è l’unità immaginaria e il logaritmo è definito classicamente solo per numeri maggiori di zero. Tutto normale dunque.

La matematica romantica

Per secoli il pi greco con i suoi misteri e l’impossibilità di determinarlo esattamente ha alimentato un sentimento quasi romantico nei confronti della matematica. Solo per oggi desidererei che ci dimenticassimo di quanto possa essere bastarda e ostile questa materia e lasciarci coccolare dalla bellezza e dall’eleganza di questa disciplina: il pi greco è infinito e aperiodico, quindi vuol dire che al suo interno c’è codificato tutto il nostro patrimonio genetico, tutto quello che pensiamo, che abbiamo pensato e che mai potremo pensare; c’è codificato tutta l’informazione che internet possa mai raccogliere e tutte le informazioni racchiuse nel nostro universo. E tutto questo è

\pi.

Buon \pi-day a tutti!

La matematica delle epidemie

#TheDress : da 0 a 10 milioni

Inizia tutto da 1 persona, dopo 8 ore 100, dopo 16 ore 10.000 persone e
un milione dopo il primo giorno.

Questa è la storia del vestito blu-nero o giallo-oro (#TheDress) che probabilmente hai visto online qualche mese fa.

Matematica delle epidemie

La domanda sul colore del vestito è stata condivisa per la prima volta da un membro di Facebook, lui  aveva quel vestito in casa.

In famiglia notò che era presente un disaccordo rispetto ai colori di quell’abito. Sorprendentemente quel dubbio e ambiguità si riscontrarono anche su Facebook.

In seguito la stessa foto è stata ri-pubblicata anche su Tumblr, da un secondo utente.

Da qui in poi possiamo dire che è storia, con più di 10 milioni di Tweet nella prima settimana in cui si parlava di questo abito, questo è evidentemente uno degli straordinari casi di “Contenuto Virale”.

Ma guardiamo come questa foto si è diffusa tra la gente.

Possiamo dividere la popolazione mondiale in 3 categorie:
1. Chi non ha visto la foto #TheDress
2. Chi la sta condividendo
3. Chi non la condivide più

Matematica delle epidemie

E questi gruppi si scambiano vicendevolmente membri nel tempo.

Ciò che è interessante approfondire è quindi come si evolvano i numeri di questi gruppi e quando un membro cambia il suo settore di appartenenza.

Questo è rilevante perchè più è popolosa la seconda categoria, al progredire del tempo, maggiore sarà il numero di persone esposte al #TheDress e quindi potenzialmente cresceranno ancora le condivisioni.

Il gruppo 2 ovviamente, oltre a crescere a causa del maggior numero di persone esposte alla foto, può decrescere perchè alcuni suoi membri smettono di interessarsi alla foto, passando quindi al gruppo 3.

Il gruppo 3 evidentemente non può che crescere, in termini di membri, all’avanzare del tempo,  venendo alimentato dalla popolazione che abbandona il gruppo 2.

Ciò che può quindi interessarci, è l’analisi dell’andamento del numero di persone che condividono la foto del #TheDress.

Supponiamo di avere una popolazione di 10 milioni di persone, che passano in un determinato tempo da essere completamente ignare della foto, fino a diventare tutte non interessate a condividerla. La parte interessante sta però nel mezzo 😉

Ovviamente le condivisioni agli inizi erano poche, analogamente, anche la velocità con cui questo numero cresceva era relativamente bassa.

Dopo però questi numeri iniziano a crescere, e questa crescita è molto rapida. Raggiungendo così circa 4 milioni di condivisioni dopo un giorno e mezzo.

Allo stesso tempo, non si può dimenticarsi del gruppo 1, il cui numero di membri decresce davvero velocemente, perchè sempre più gente è esposta al contenuto
il cui numero di condivisioni sta intanto andando alle stelle.

Inoltre, com’è chiaro che sia, il numero di persone che non è più interessato a condividere la foto del vestito, cresce molto rapidamente nel tempo.

Come tutti i fenomeni virali, questo contenuto ha quindi un picco iniziale, a cui segue una abbastanza rilevante perdita di interesse.

Ecco qui un grafico sovrapposto dei 3 andamenti, direi molto chiarificatore 😉

Matematica delle epidemie

Una domanda interessante è:
Ma come mai la foto del vestito smette di diffondersi ad un certo punto?

E’ forse stata vista da tutta la popolazione del mondo? Beh, no, sarebbe una cosa molto difficile.  La diffusione si ferma perchè la gente che sta continuando a condividere la foto, non trova più nessuno interessato, non trova nessuno con cui condividerla.

Dopotutto noi siamo animali social(i), se vediamo che nessuno prova interesse o apprezza ciò che pensiamo o condividiamo, è molto probabile che smettiamo di farlo o che cambiamo approccio (a meno di personalità davvero forti che non se ne preoccupano).

Quindi questi perdono l’interesse nel condivderla e i numeri delle condivisioni decrescono drasticamente fino allo zero (o quasi).

Tutto questo modello è abbastanza realistico, ma ovviamente viene trascurato il fatto che il potenziale  della gente colpita non è pari alla popolazione mondiale.

Non tutti infatti hanno una connessione ad internet, non tutti sono a priori interessati a condividere foto/domande online o sui social network e molti altri fattori sono stati messi sotto il tappeto. 🙂

E’ quindi un modello basato su una serie abbastanza ampia di  assunzioni, ma sufficientemente preciso per poter introdurci ai modelli di diffusione delle epidemie.

Modelli matematici per le epidemie

Ma come può interessarci un contenuto diffusosi viralmente sui social network, nell’analisi di un’epidemia?

Beh, risulta evidente che il termine “Andare virali” derivi dal “virus”, un termine prettamente medico, associabile alle epidemie.

Infatti la dinamica con cui un virus infetta la popolazione, ha molto in comune con l’andamento virale di un immagine su Facebook.

Fortunatamente però nessuna delle influenze virali si diffonde così rapidamente come una foto su Internet.

Inoltre, mentre è molto difficile stoppare artificialmente la diffusione virale di una foto su Internet, nel  campo della medicina sono stati sviluppati molti strumenti utili a questo scopo.

E poi c’è un’altra arma molto importante a disposizione dell’uomo, che però agisce dietro alle quinte. Questa è la matematica 😉

Lo studio delle malattie infettive mediante la matematica non è qualcosa di recente, già 250 anni fa si facevano calcoli probabilistici e statistici per prevedere l’efficacia che il vaccino avrebbe avuto per limitare i danni prodotti dal vaiolo.

E il modello che ho usato per descrivere la diffusione della foto dell’abito, è lo stesso che hanno usato gli epidemologi per circa 100 anni.

E’ utilizzato per studiare la diffusione e la dinamica delle malattie infettive e per aiutare a produrre strumenti per controllarle.

Analogamente a quanto fatto prima, vediamo di dividere la popolazione rispetto al loro “rapporto” con una data malattia infettiva:
1. Chi è suscettibile ad ammalarsi
2. Chi è infetto attualmente
3. Chi ha recuperato ed è ora sano

Supponiamo che si possa variare gruppo solo in una direzione, ovvero si può passare da 1 a 2, da 2 a 3 e basta.

L’assunzione che stiamo facendo è quindi abbastanza  importante: non ci si può ammalare due volte.Matematica delle epidemie

Questo è detto un modello SIR per le epidemie. Ed è quello più basico in grado di descrivere con  sufficiente accuratezza la dinamica di un epidemia nella popolazione.

Ovviamente, come abbiamo fatto per il vestito, possiamo tenere traccia del numero di persone che, al variare del tempo, appartengono ai tre gruppi precedenti.

Vediamo qui di seguito in sintesi come e perchè possono variare i membri di ogni gruppo:

GRUPPO 1
Può solo diminuire in numero, grazie alle ulteriori infezioni (da gruppo 1 a 2)

GRUPPO 2
Ha un flusso più o meno simmetrico, anche se si spera di controllarlo per gestire l’epidemia. Si accresce con i nuovi infetti (provenienti dal  gruppo 1) e decrece in numero grazie alle persone che guariscono (da gruppo 2 a 3).

GRUPPO 3
Può solo che crescere in numero, grazie ai nuovi strumenti che vengono sviluppati per curare l’infezione (provengono dal gruppo 2)

Per non andare troppo nei dettagli, stiamo facendo anche un’altra grossa assunzione:
Ognuno ha la stessa probabilità di ammalarsi e di guarire, ossia stiamo considerando una popolazione omogenea, autentica (ideale).

Inoltre la popolazione totale l’abbiamo considerata costante nel tempo in numero, cosa abbastanza rara visto che dovrebbero bilanciarsi esattamente nuove nascite e morti.

Nonostante queste semplificazioni, con questo modello virtuale possiamo comunque fornire delle risposte  stimate ad alcune domande parecchio utili. Per esempio possiamo  chiederci quante persone in meno verrebbero infettate mediante un dato vaccino.

Possiamo anche rispondere a domande la cui risposta non sempre esiste parlando di persone reali. Infatti eseguire esperimenti su esseri viventi è considerato non etico, quindi dei dati concreti che seguono a sperimentazioni su un dato campione non sono sempre ricavabili.

Però un modello predditivo di questo tipo può aiutarci, e non poco, ad affermare delle ipotesi rispetto ai risultati che ci aspetteremmo di ottenere con questi esperimenti.

Tutto ciò è davvero possibile, non dobbiamo però dimenticarci del fatto che 100 anni fa tutti questi calcoli erano fatti a mano!

Quindi dall’incremento delle potenze di calcolo che ora abbiamo a disposizione abbiamo ottenuto una velocità di elaborazione strabiliante e siamo quindi in grado di provare a proporre strumenti per controllarne la diffusione dopo poco tempo dall’inizio del loro
sviluppo.

In quest’epoca dei Big Data infatti stiamo assistendo ad una enorme evoluzione di questo settore della matematica e, soprattutto, ad una crescente capacità di prevenire queste problematiche efficacemente.

Ecco alcune cose che si stanno sviluppando in questi anni.

Ora abbiamo dei modelli basati sugli individui, che seguono la storia di un individuo della popolazione e ne tracciano le informazioni relative alla variazione di probabilità di contrarre determinate malattie.

Ci si sta anche concentrando sull’analisi delle dinamiche degli individui nella popolazione, di come si mescolano agli altri, di come si scambiano informazioni. Questo
perchè il contatto è spesso alla base della diffusione di infezioni.

Siamo quindi passati da un modello con parecchie assunzioni, analizzante i gruppi di persone, a modelli molto specifici ed avanzati che si interessano delle caratteristiche dei singoli individui, fino a  modelizzare i genomi, il materiale genetico dell’organismo, e che causano queste infezioni, come i batteri.

Stiamo andando in questa direzione così che si possa comprendere chi sia stato il PAZIENTE 0, e per avere dettagli più precisi sulla diffusione nel tempo (e anche nello spazio) di tale virus.

Ora la matematica applicata alla biologia si interessa anche sempre più del modellizzare come questi fattori scatenanti, all’interno del nostro organismo, si muovano nel corpo e come interagiscono con il resto di esso.

Per concludere, ecco una riflessione interessante: I processi biologici celano ancora molti misteri, che trovano loro grande supporto nella matematica.

Quindi, a quali domande risponderesti tu usando la matematica?


Questo articolo mi è piacuto parecchio scriverlo e, per correttezza, ci tengo a dire che è una traduzione e rielaborazione di un video che ho trovato su Youtube, eccoli qui 😉 :