Integrali primi: non tutto varia in un sistema dinamico

I sistemi dinamici sono uno degli argomenti e tematiche che preferisco, quindi ti parlo con molto piacere di questi “integrali primi”. Ho pensato di iniziare con un breve paragrafo introduttivo in cui definire cosa sono i sistemi dinamici, proseguire con un semplice esempio, definire il concetto di integrale primo e concludere portando un esempio di integrale primo.

Nulla di troppo avanzato, con questo articolo mi pongo l’obiettivo di introdurti il concetto di integrale primo accompagnandoti magari dal non sapere cosa sia un sistema dinamico ad avere un’idea più o meno chiara di cosa siano questi “oggetti”.

Integrale primo

Cosa sono i sistemi dinamici?

Partiamo con una definizione formale del concetto di sistema dinamico. Poi la semplificheremo notevolmente, tanto alla fine a noi non serve essere troppo rigorosi (per quello ci sono i libri di testo e a conclusione dell’articolo te ne suggerirò alcuni per studiare queste tematiche), ma ci interessa comprendere le idee, le intuizioni 🙂

Sia $M$ una varietà differenziabile compatta sulla quale è definita una misura regolare normalizzata $\mu$, e sia $\phi := \{\phi^t\}$, $t\in\mathbb{R}$ oppure $t\in\mathbb{Z}$, un gruppo di diffeomorfismi su $M$, parametrizzato da $t$, che preservano la misura. Più formalmente si ha che
\[
\phi^{t}\circ\phi^{s}=\phi^{t+s}, \phi^{0}=Id ,
\]
\[
\mu(\phi^{-t}(A))=\mu(A)
\]
per ogni $ t,s$ in $\mathbb{R}$ o $\mathbb{Z}$, e ogni $A \subset M$ $\mu$-misurabile. Dove con la notazione $\phi^{-t}(A)$ si intende l’insieme
$\phi^{-t}(A):=\{ x \in M : \phi^t(x)\in A\} $.
La terna $(M,\mu,\phi)$ così costruita viene definita sistema dinamico classico.

Questa definizione non l’ho scritta per spaventare, semplicemente per mostrare l’insieme di nozioni che sarebbero necessarie per iniziare a studiare rigorosamente i sistemi dinamici. Ma nessun problema, intanto ti suggerisco alcuni riferimenti dove, se sei interessato, puoi approfondire i termini che ho citato nella definizione, poi spoglieremo le precedenti righe di tutte queste cose complicate ed andremo al succo del concetto con un esempio.

Varietà differenziabile: https://it.wikipedia.org/wiki/Variet%C3%A0_differenziabile

Misura regolare: https://it.wikipedia.org/wiki/Misura_regolare

Diffeomorfismo: https://it.wikipedia.org/wiki/Diffeomorfismo

Spazio misurabile: https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_misurabile

Bene, ci siamo. I sistemi dinamici di cui ci interesseremo sono associati ad equazioni differenziali definite AUTONOME, nel senso che la funzione che li definisce non dipende esplicitamente dal tempo. Giusto per completezza, ci tengo a dirti che ogni sistema è riconducibile ad un sistema autonomo, per cui non stiamo perdendo di generalità facendo questa assunzione.

Per parlare di sistema dinamico dobbiamo avere uno spazio su cui lavorare (noi lavoreremo in $\mathbb{R}^2$, nel piano euclideo), una funzione che regola la dinamica (con sufficiente regolarità) e più o meno siamo a posto.

In parole povere infatti un sistema dinamico è un modello matematico che rappresenta un oggetto, un sistema, che evolve nel tempo secondo una legge deterministica.

I sistemi dinamici, come penso tu possa aver intuito, sono descritti/definiti da delle equazioni differenziali, che possiamo scrivere nella seguente forma nel caso del piano euclideo $\mathbb{R}^2$:

$\dot{x}=f_1(x,y)$

$\dot{y}=f_2(x,y)$

dove ho omesso nella scrittura che $x=x(t)$ è una funzione del tempo, e lo stesso per $y$. Inoltre con $\dot{x}$ voglio indicare $\frac{dx(t)}{dt}$.

Si può generalizzare quanto riportato nella precedente coppia di equazioni, definendo un campo vettoriale $X:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ e introducendo quindi il seguente sistema di 2 equazioni differenziali del primo ordine:

$(\dot{x},\dot{y}) = X(x,y)$.

Integrale primo

Ecco l’esempio di un campo vettoriale, la cui immagine è tratta da Wikipedia, dove la superficie/varietà di definizione è una sfera e geometricamente il campo vettoriale si rappresenta come dei vettori applicati ai punti della superficie sferica.

Dato il campo vettoriale $X$ definito come in precedenza, diciamo curva integrale passante per il punto $P_0\in\mathbb{R}^2$ una curva del piano che passa per quel punto e che è puntualmente tangente al campo vettoriale $X$ a cui è associata. In formule si ha che:

$t\rightarrow x(t)$ è curva integrale passante per $x_0$ se $x(0)=x_0$ e $\frac{dx(t)}{dt}=X(x(t))$.

Se il campo vettoriale è sufficentemente regolare, vale il teorema di esitenza e unicità di Cauchy-Lipschitz, che garantisce che per ogni condizione iniziale $P_0$ esiste una ed una sola curva integrale del campo passante per quel punto.

Prima di passare oltre, ci serve definire anche il concetto di flusso di un campo vettoriale o, alternativamente, del sistema dinamico ad esso associato. Lo facciamo qui di seguito:

Dato il campo vettoriale $X:\Omega\subset\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$, si dice flusso di $X$ la funzione $\Phi_{X} : \Omega\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2$ che soddisfa le seguenti proprietà:

1. Per ogni tempo $t\in\mathbb{R}$, la funzione $\Phi_{X}^t: \Omega\rightarrow\mathbb{R}^2$ definita come $\Phi_{X}^t(c) := \Phi_{X}(c,t)$ è un diffeomorfismo rispetto alla sua immagine.

2. La mappa $c_y:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$ tale che $c_y(t) := \Phi_{X}(y,t)$ definisce la curva integrale che al tempo $t=0$ passa per il punto $y$.

Più correttamente si è soliti parlare di flusso locale e, in tal caso, le due precedenti proprietà vanno indebolite parlando semplicemente di intorni aperti del punto attorno al quale si vuole calcolare/definire il flusso.

Integrale primo

P.S. Sui sistemi dinamici ci sarebbero una marea di cose da dire, e pian piano ti parlerò di alcune in futuro, per esempio riguardo alla teoria del caos trovi qualcosina qui http://www.mathone.it/teoria-del-caos/

Andiamo ora ad approfondire quanto visto fino ad ora con un esempio.

Dinamica preda-predatore

Per descrivere la dinamica evolutiva di una coppia di specie di animali, si può definire un semplice modello/sistema dinamico detto di Lotka-Volterra che rapporta gli incrementi/diminuzioni degli individui delle due differenti specie di animali nel tempo. Nel video qui sopra ti presento il modello in maniera spero sia semplice che chiara.

Preferisco non ripetere a parole scritte quanto detto nel video perchè, durando mezz’ora, sarebbe senz’altro un casino provare a riassumerla in un paio di paragrafi. Guardatelo con calma che sono certo ti chiarirà le idee prima di procedere con il concetto di integrale primo.

Se vuoi qualcosa di scritto riguardo a questo tema avevo scritto un articoletto in passato che trovi qui: http://www.mathone.it/preda-predatore/

P.S. Se ti piace il progetto Mathone ti consiglio di iscriverti al canale Youtube in cui trovi il video qui sopra 🙂

Insiemi invarianti ed integrali primi

Nel momento in cui abbiamo capito che per definire un sistema dinamico è sufficiente un certo dominio ed un campo vettoriale su esso definito, abbiamo la possibilità di dare spazio all’immaginazione e costruire i sistemi più disparati.

Non risulta difficile pensare di poter costruire sistemi in cui la dinamica evolve in modo tale che, se l’evoluzione inizia in un certo insieme, in esso rimarra per sempre. Vediamo un semplice esempio, dove invece che parlare di equazioni differenziali e quindi di sistemi dinamici continui, parliamo di “regole iterative” che definiscono un sistema dinamico discreto. Questo semplicemente perchè è più facile comprendere cosa sta succedendo.

Definiamo un sistema dinamico sulla retta reale $\mathbb{R}$ che manda il punto $x_k$ nel punto $x_{k+1}=2x_k$. Semplice, no?! Ogni volta che aumenta di un’unità il tempo, la posizione raddoppia.

Ottimo, ora che hai capito cosa succede in questo sistema, prova a pensare se sia possibile, partendo da un numero $x_0>0$, ottenere un numero negativo nel corso della nostra dinamica evolutiva… Impossibile, vero?!

Esatto, infatti in questo sistema dinamico abbiamo 3 cosiddetti sottoinsiemi invarianti di $\mathbb{R}$, che sono $\Omega_{-}=\{x\in\mathbb{R}:x<0\}$, $\Omega_0 = \{0\}$ e, per finire $\Omega_{+}=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$.

Ma definiamo più rigorosamente cosa si intende per insieme invariante:

Dato un sistema dinamico definito sul sottoinsieme $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ dal campo vettoriale $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^2$, si dice $D\subset\Omega$ sottoinsieme invariante se $\Phi_{X}^t(D)\subset D$ per ogni $t\in\mathbb{R}$, dove con $\Phi_{X}^t(D)$ definiamo l’immagine, al tempo $t$, dell’insieme $D$ tramite la funzione di flusso prima definita.

Ecco, ora finalmente ci siamo. Possiamo definire il concetto di integrale primo. Ricordando che per insieme di livello di una funzione regolare $f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ intendiamo l’insieme $\Sigma_c=\{x\in\Omega: f(x)=c\}$, si dice $f$ integrale prima del campo vettoriale $X$ se e solo se, per definizione, per ogni $c\in Immagine(f)$, l’insieme $\Sigma_c$ è invariante rispetto al campo. Ciò può essere trascritto come:

$\Phi_X^t(f^{-1}(\{c\}))\subset f^{-1}(\{c\})\;\;\forall t\in\mathbb{R}.$

Un modo più operativo per caratterizzare un integrale primo, è mediante la cosiddetta derivata di Lie , la cui definizione può essere trovata per esempio qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Derivata_di_Lie . Magari ci dedicherò un articolo in futuro.

In parole povere, possiamo definire la derivata di Lie di una funzione $f$ rispetto ad un campo $X$ come la variazione che $f$ ha lungo le curve integrali di $X$, ovvero parallelamente al campo $X$. Per questa ragione infatti questa derivata può essere calcolata come segue:

$\mathcal{L}_{X} f = \nabla f \cdot X$.

Siccome intuitivamente gli integrali primi sono funzioni che “non variano lungo il campo vettoriale”, la derivata di Lie permette di caratterizzare gli integrali primi come quelle funzioni la cui derivata è 0:

$f$ è integrale primo di $X$ se e solo se $\mathcal{L}_X f = 0$.

Spero che tu sia arrivato fin qui nella lettura, nonostante sia consapevole che l’articolo è piuttosto tecnico e se non hai dimestichezza con questi concetti probabilmente è anche pesante. Direi quindi che è arrivato il momento di concludere con un esempio di integrale primo e poi salutarci al prossimo articolo! 🙂

Esempio di integrale primo

Supponiamo di analizzare un sistema molto semplice, associato ad un cosiddetto “campo vettoriale del secondo ordine”. Probabilmente hai già studiato qualcosa di fisica e sicuramente ricorderai che nei sistemi conservativi l’energia totale si conserva. Tralasciando altri contributi e supponendo solo energia cinetica ed energia potenziale, possiamo dire che l’energia totale è della seguente forma:

$E(x,v)=\frac{1}{2}mv^2 + V(x)$, dove V è chiamata energia potenziale.

Ora possiamo mostrare, abbastanza facilmente, che il concetto di conservazione dell’energia totale può essere anche spiegato dal punto di vista della teoria dei sistemi dinamici, dicendo che $E$ è un integrale primo del campo vettoriale del secondo ordine associato alla seconda legge di Newton applicata al sistema.

Ricordiamo infatti che $\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}$, dove $F$ è la forza agente sulla particella e $a$ la sua accellerazione. Quindi, supponendo un semplice sistema che evolve in una dimensione spaziale, quindi diciamo nel dominio $\mathbb{R}$, abbiamo che $\boldsymbol{a}=\ddot{x}$. e quindi la precedente equazione prende la seguente forma:

$F = m\ddot{x}$.

Supponendo il sistema conservativo inoltre, esiste una funzione detta potenziale $V(x)$ tale che $F(x)=-V'(x)$, di conseguenza il sistema si può scrivere come $m\ddot{x}=-V'(x)$, ovvero come un’equazione del secondo ordine.

Se hai un minimo di dimestichezza con le equazioni differenziali ordinarie, di certo saprai che questa equazione può essere trasformata in un sistema di due equazioni del primo ordine e che quindi ad essa può essere associato un campo vettoriale $X=X(x,v)$ come segue:

$(\dot{x},\dot{v}) = (v,-V'(x)/m) = X(x,v)$.

Eccoci quindi pronti a fare un semplice conto, ovvero a verificare che $\mathcal{L}_X E = 0$ come segue:

$\mathcal{L}_X E = \nabla E \cdot X = (V'(x),mv)\cdot(v,-V'(x)/m) = V'(x)v-mv(V'(x)/m) = V'(x)v-V'(x)v=0$

che quindi signfica che $E$ non varia lungo le curve integrali di $X$ e che quindi $E$ è integrale primo del sistema.

La presenza di integrali primi rispetto ad un dato sistema dinamico permettono di semplificarne notevolmente la complessità, però preferisco non allungare ulteriormente l’articolo e, per il momento, darti solo l’idea dell’utilità di questi. Prova a unire i puntini…abbiamo detto che per campi vettoriali sufficientemente regolari esiste una ed una sola curva integrale passante per un punto $P_0$. Inoltre gli insiemi di livello di un integrale primo sono invarianti rispetto al flusso $\Phi_X^t$ del campo $X$. Quindi se la dinamica inizia in un insieme di livello ci rimarrà! Ecco l’idea dietro la procedura di riduzione d’ordine del campo vettoriale, tramite la presenza di integrali primi.

Solo per completezza, ci tengo a dirti che se fossi interessato a rappresentare graficamente con il cosiddetto ritratto di fase la dinamica di questa tipologia di sistemi meccanici conservativi, la presenza di questo integrale primo dell’energia è davvero utile e magari ne parleremo meglio in un articolo in futuro.

Riferimenti per studiare questi argomenti

integrale pirmo

Sono consapevole di aver buttato lì molti, forse troppi, concetti in questo articolo. Ma ho voluto gettare le basi di alcuni importanti elementi della teoria dei sistemi dinamici per invogliarti magari ad approfondirli in autonomia. Per aiutarti nell’approfondimento, quindi ti allego qui sotto alcuni riferimenti davvero interessanti e ben fatti. Un misto tra dispense universitarie e libri di testo.

Mi sento di dirti che questi 3 approfondimenti sono in ordine crescente di difficoltà, vedi un po’ tu cosa si presta meglio al tuo attuale livello di conoscenza in questo settore e se hai riferimenti di qualità da suggerirmi, fammeli sapere nei commenti che li aggiungerò senz’altro 😉

2 commenti

  • Trovo una buona lezione.A risentirci

  • Luigi D'Agosto

    Benché abbia superato gli ottanta, il mio desiderio di apprendere non si è mai esaurito. Perciò ti sono grato della possibilità di avvicinarmi ad argomenti interessanti pur non possedendo io le basi idonee per studiarli in maniera approfondita.
    Ho esercitato la professione di notaio per un cinquantennio, ma ho letto molti libri divulgativi di illustri uomini di scienza, provandone grande piacere.

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